Номер 81, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

81. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна $112\sqrt{3}$ \text{см}$^2$, а площадь ее боковой поверхности равна $96\sqrt{3}$ \text{см}$^2$. Найдите с точностью до 0,1 см высоту этой пирамиды.

Дано:

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды $S_{полн} = 112\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок} = 96\sqrt{3}$ см$^2$.

Перевод в СИ:

Так как задача требует найти высоту в сантиметрах и все исходные данные даны в сантиметрах, перевод в систему СИ (метры) не является строго необходимым для получения корректного ответа в требуемых единицах измерения. Однако, если бы требовался ответ в метрах или другие параметры были в различных единицах, конвертация была бы обязательной. В данном случае, все расчеты будут вестись в сантиметрах.

Найти:

Высота пирамиды $H$ с точностью до 0,1 см.

Решение:

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$):

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Отсюда, $S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$

$S_{осн} = 112\sqrt{3} \text{ см}^2 - 96\sqrt{3} \text{ см}^2 = (112 - 96)\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем сторону основания 'a' (равностороннего треугольника):

Поскольку пирамида правильная треугольная, ее основанием является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной 'a' вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим известное значение $S_{осн}$:

$16\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$16 = \frac{a^2}{4}$

$a^2 = 16 \times 4 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Найдем периметр основания ($P_{осн}$):

Периметр равностороннего треугольника со стороной 'a' равен:

$P_{осн} = 3a = 3 \times 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

4. Найдем апофему пирамиды ($h_a$) – высоту боковой грани:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$

Подставим известные значения:

$96\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 24 \times h_a$

$96\sqrt{3} = 12 h_a$

$h_a = \frac{96\sqrt{3}}{12} = 8\sqrt{3}$ см.

5. Найдем радиус вписанной окружности в основание ($r$):

Для равностороннего треугольника со стороной 'a' радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим значение 'a':

$r = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

6. Найдем высоту пирамиды ($H$):

Высота пирамиды $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной окружности основания $r$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2$

$H^2 = h_a^2 - r^2$

$H^2 = (8\sqrt{3})^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$H^2 = (64 \times 3) - \left(\frac{16 \times 3}{9}\right)$

$H^2 = 192 - \frac{48}{9}$

$H^2 = 192 - \frac{16}{3}$

$H^2 = \frac{192 \times 3 - 16}{3} = \frac{576 - 16}{3} = \frac{560}{3}$

$H = \sqrt{\frac{560}{3}}$

Вычислим приближенное значение и округлим до 0,1:

$H \approx \sqrt{186.666...}$

$H \approx 13.6625...$

Округляя до одной десятой, получаем:

$H \approx 13.7$ см.

Ответ: 13.7 см.