Номер 83, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

83. Деревянный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 дм, распилили на три пирамиды $A_1ABCD$, $A_1BCC_1B_1$, $A_1DCC_1D_1$ (рисунок 59). Объясните, почему эти пирамиды равны и найдите площади их полных поверхностей.

Рисунок 59

Дано:

Деревянный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 1 \text{ дм}$

Куб распилен на три пирамиды: $P_1 = A_1ABCD$, $P_2 = A_1BCC_1B_1$, $P_3 = A_1DCC_1D_1$

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

1. Объяснить, почему эти пирамиды равны.

2. Найти площади их полных поверхностей.

Решение:

Объяснение, почему эти пирамиды равны

В контексте геометрии, "равны" для многогранников часто означает, что они конгруэнтны, то есть могут быть совмещены наложением. Конгруэнтные фигуры имеют равные объемы и равные площади поверхностей.

Рассмотрим структуру каждой из трех пирамид:

1. Пирамида $P_1 = A_1ABCD$:

   Ее основание — это нижняя грань куба $ABCD$.

   Ее боковые грани: $\triangle A_1AB$, $\triangle A_1BC$, $\triangle A_1CD$, $\triangle A_1DA$.

2. Пирамида $P_2 = A_1BCC_1B_1$:

   Ее основание — это боковая грань куба $BCC_1B_1$.

   Ее боковые грани: $\triangle A_1BC$, $\triangle A_1CC_1$, $\triangle A_1C_1B_1$, $\triangle A_1B_1B$.

3. Пирамида $P_3 = A_1DCC_1D_1$:

   Ее основание — это боковая грань куба $DCC_1D_1$.

   Ее боковые грани: $\triangle A_1CD$, $\triangle A_1CC_1$, $\triangle A_1C_1D_1$, $\triangle A_1D_1D$.

Вершина всех трех пирамид — это вершина $A_1$ куба. Все грани куба являются конгруэнтными квадратами со стороной $a$.

Определим типы и площади граней каждой пирамиды:

• Площадь основания: Каждая пирамида имеет в качестве основания одну из граней куба. Все эти грани — квадраты со стороной $a$. Поэтому площади оснований всех трех пирамид равны: $S_{основания} = a^2$.

• Площади боковых граней:

  Для удобства возьмем $a=1 \text{ дм}$. Тогда:

  • Длины ребер куба: $A_1A = AB = AD = BC = CD = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1 = D_1A_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 1 \text{ дм}$.
  • Длины диагоналей граней: $A_1B = A_1D = A_1C_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ дм}$.
  • Длина пространственной диагонали: $A_1C = \sqrt{a^2+(a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2+2a^2} = a\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ дм}$.

  Теперь рассмотрим боковые грани каждой пирамиды:

  • Пирамида $P_1 = A_1ABCD$:
    • $\triangle A_1AB$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $A$). Катеты $A_1A=a$ и $AB=a$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1AD$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $A$). Катеты $A_1A=a$ и $AD=a$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1BC$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $B$, так как $A_1B^2 + BC^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 3a^2 = (a\sqrt{3})^2 = A_1C^2$). Катеты $A_1B=a\sqrt{2}$ и $BC=a$. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1CD$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $D$, аналогично $\triangle A_1BC$). Катеты $A_1D=a\sqrt{2}$ и $CD=a$. Площадь $S_4 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$.
  • Пирамида $P_2 = A_1BCC_1B_1$:
    • $\triangle A_1BC$: $S_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$ (уже вычислено).
    • $\triangle A_1CC_1$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $C_1$, так как $A_1C_1 \perp CC_1$). Катеты $A_1C_1=a\sqrt{2}$ и $CC_1=a$. Площадь $S_5 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1C_1B_1$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $B_1$). Катеты $A_1B_1=a$ и $B_1C_1=a$. Площадь $S_6 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1B_1B$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $B_1$). Катеты $A_1B_1=a$ и $B_1B=a$. Площадь $S_7 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
  • Пирамида $P_3 = A_1DCC_1D_1$:

    Эта пирамида является зеркальным отражением пирамиды $P_2$ относительно плоскости, проходящей через $A_1C_1$ и параллельной оси $y$. Таким образом, она будет конгруэнтна $P_2$. Ее грани попарно конгруэнтны граням $P_2$.

    • $\triangle A_1CD$: $S_4 = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$ (уже вычислено).
    • $\triangle A_1CC_1$: $S_5 = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$ (уже вычислено).
    • $\triangle A_1C_1D_1$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $D_1$). Катеты $A_1D_1=a$ и $D_1C_1=a$. Площадь $S_8 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1D_1D$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $D_1$). Катеты $A_1D_1=a$ и $D_1D=a$. Площадь $S_9 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.

Суммируя, каждая из трех пирамид имеет в качестве основания квадрат со стороной $a$, две боковые грани являются прямоугольными треугольниками с катетами $a, a$ (площадью $\frac{1}{2}a^2$), и две боковые грани являются прямоугольными треугольниками с катетами $a, a\sqrt{2}$ (площадью $\frac{\sqrt{2}}{2}a^2$). Поскольку все соответствующие грани конгруэнтны, сами пирамиды конгруэнтны. Из конгруэнтности следует равенство объемов и площадей полных поверхностей.

Для подтверждения равенства объемов:

• Объем пирамиды $P_1 = A_1ABCD$: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{1}{3} a^3$.
• Объем пирамиды $P_2 = A_1BCC_1B_1$: Высота пирамиды $A_1BCC_1B_1$ (расстояние от $A_1$ до плоскости $BCC_1B_1$) равна $a$. Например, если $A_1$ имеет координаты $(0,0,a)$ и грань $BCC_1B_1$ лежит в плоскости $x=a$, то расстояние равно $a$. $V_2 = \frac{1}{3} S_{BCC_1B_1} \cdot a = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{1}{3} a^3$.
• Объем пирамиды $P_3 = A_1DCC_1D_1$: Высота пирамиды $A_1DCC_1D_1$ (расстояние от $A_1$ до плоскости $DCC_1D_1$) также равна $a$. Например, если $A_1$ имеет координаты $(0,0,a)$ и грань $DCC_1D_1$ лежит в плоскости $y=a$, то расстояние равно $a$. $V_3 = \frac{1}{3} S_{DCC_1D_1} \cdot a = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{1}{3} a^3$.

Таким образом, все три пирамиды имеют одинаковый объем $V = \frac{1}{3} a^3$. Сумма их объемов составляет $3 \cdot \frac{1}{3} a^3 = a^3$, что равно объему исходного куба.

Ответ: Эти пирамиды равны (конгруэнтны), так как имеют одинаковые наборы соответствующих граней (по одной квадратной грани $a \times a$, по две прямоугольные треугольные грани с катетами $a, a$ и по две прямоугольные треугольные грани с катетами $a, a\sqrt{2}$). Из конгруэнтности следует равенство их объемов.

Площади их полных поверхностей

Поскольку все три пирамиды конгруэнтны, их полные поверхности будут равны. Найдем площадь полной поверхности для одной из них, например, для $P_1 = A_1ABCD$.

Полная площадь поверхности пирамиды $S_{полн} = S_{основания} + S_{боковых}$.

Применим значение $a = 1 \text{ дм}$.

Площадь основания $S_{ABCD} = a^2 = (1 \text{ дм})^2 = 1 \text{ дм}^2$.

Площади боковых граней:

• $S_{A_1AB} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2} \text{ дм}^2$.
• $S_{A_1AD} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2} \text{ дм}^2$.
• $S_{A_1BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} (1)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}^2$.
• $S_{A_1CD} = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} (1)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}^2$.

Суммарная площадь боковых граней $S_{боковых} = S_{A_1AB} + S_{A_1AD} + S_{A_1BC} + S_{A_1CD} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \text{ дм}^2$.

Полная площадь поверхности пирамиды $P_1$:

$S_{полн}(P_1) = S_{основания} + S_{боковых} = a^2 + (1+\sqrt{2})a^2 = 1 + (1+\sqrt{2}) = (2+\sqrt{2}) \text{ дм}^2$.

Поскольку $P_2$ и $P_3$ конгруэнтны $P_1$, их площади полных поверхностей будут такими же.

Переведем результат в систему СИ:

$a = 0.1 \text{ м}$.

$S_{полн} = (2+\sqrt{2})a^2 = (2+\sqrt{2})(0.1 \text{ м})^2 = (2+\sqrt{2}) \cdot 0.01 \text{ м}^2$.

Ответ: Площади полных поверхностей всех трех пирамид равны $(2+\sqrt{2}) \text{ дм}^2$ или $(2+\sqrt{2}) \cdot 0.01 \text{ м}^2$.