Страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

76. В правильной треугольной пирамиде высота равна 4 см, а сторона основания – $2\sqrt{3}$ см. Сравните площади боковых поверхностей этой пирамиды и пирамиды с такими же основанием и высотой, если высота совпадает с одним из ее боковых ребер.

Дано:

Пирамида 1 (правильная треугольная):
Высота $H_1 = 4 \text{ см}$
Сторона основания $a_1 = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Пирамида 2 (с тем же основанием и высотой, высота совпадает с одним из боковых ребер):
Высота $H_2 = 4 \text{ см}$
Сторона основания $a_2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Перевод в СИ:

$H_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$a_1 = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$
$H_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$a_2 = 2\sqrt{3} \text{ см} = 0.02\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

Сравнить площади боковых поверхностей $S_{лат1}$ и $S_{лат2}$.

Решение:

Расчет площади боковой поверхности первой пирамиды:

Основание - правильный треугольник со стороной $a_1 = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Высота пирамиды $H_1 = 4 \text{ см}$.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется по формуле $S_{лат} = \frac{1}{2} P_о h_а$, где $P_о$ - периметр основания, $h_а$ - апофема боковой грани.
1. Найдем периметр основания:
$P_о = 3a_1 = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.
2. Найдем радиус вписанной окружности в основание (это проекция апофемы на плоскость основания для правильной пирамиды). Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 \text{ см}$.
3. Найдем апофему $h_{а1}$ (высоту боковой грани) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности основания и апофемой:
$h_{а1}^2 = H_1^2 + r_1^2$
$h_{а1}^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$
$h_{а1} = \sqrt{17} \text{ см}$.
4. Рассчитаем площадь боковой поверхности первой пирамиды:
$S_{лат1} = \frac{1}{2} P_о h_{а1} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{17} = 3\sqrt{3 \cdot 17} = 3\sqrt{51} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{лат1} = 3\sqrt{51} \text{ см}^2$.

Расчет площади боковой поверхности второй пирамиды:

Основание - правильный треугольник со стороной $a_2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Высота пирамиды $H_2 = 4 \text{ см}$ совпадает с одним из боковых ребер. Пусть вершина пирамиды - $S$, а вершины основания - $A, B, C$. Если высота $SA$ совпадает с боковым ребром, то $SA = H_2 = 4 \text{ см}$ и $SA$ перпендикулярна плоскости основания.
Боковая поверхность состоит из трех треугольников: $\triangle SAB$, $\triangle SAC$, $\triangle SBC$.
1. $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ - прямоугольные треугольники, поскольку $SA$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, перпендикулярна сторонам $AB$ и $AC$.
Площадь $\triangle SAB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Площадь $\triangle SAC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.
2. $\triangle SBC$ - равнобедренный треугольник, так как $SB = SC$ (симметрия относительно прямой, проходящей через $S$ и середину $BC$). Найдем длины боковых ребер $SB$ и $SC$ с помощью теоремы Пифагора в прямоугольных треугольниках $\triangle SAB$ и $\triangle SAC$ соответственно:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см}$.
$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ см}$.
Основание $BC = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Найдем высоту $\triangle SBC$ из вершины $S$ к стороне $BC$. Пусть $M$ - середина $BC$. Тогда $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ см}$.
Высота $SM$ (апофема $\triangle SBC$) находится по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle SMB$:
$SM^2 = SB^2 - BM^2 = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 28 - 3 = 25$
$SM = 5 \text{ см}$.
Площадь $\triangle SBC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 = 5\sqrt{3} \text{ см}^2$.
3. Рассчитаем общую площадь боковой поверхности второй пирамиды:
$S_{лат2} = Area(\triangle SAB) + Area(\triangle SAC) + Area(\triangle SBC) = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (4+4+5)\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{лат2} = 13\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Сравнение площадей боковых поверхностей:

Нам нужно сравнить $S_{лат1} = 3\sqrt{51}$ и $S_{лат2} = 13\sqrt{3}$.
Для сравнения возведем оба значения в квадрат, так как обе площади положительны:
$(S_{лат1})^2 = (3\sqrt{51})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{51})^2 = 9 \cdot 51 = 459$.
$(S_{лат2})^2 = (13\sqrt{3})^2 = 13^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 169 \cdot 3 = 507$.
Поскольку $507 > 459$, то $S_{лат2} > S_{лат1}$.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой высота совпадает с одним из боковых ребер ($S_{лат2}$), больше, чем площадь боковой поверхности правильной пирамиды ($S_{лат1}$).

77. Изготовьте модель правильной треугольной пирамиды и найдите площадь ее поверхности.

Изготовьте модель правильной треугольной пирамиды

Для изготовления модели правильной треугольной пирамиды вам потребуются следующие материалы и инструменты:

• Лист плотной бумаги или картона.
• Линейка.
• Карандаш.
• Ножницы.
• Клей или скотч.

Инструкция по изготовлению:

1. Нарисуйте развертку пирамиды на листе бумаги или картона. Развертка правильной треугольной пирамиды состоит из одного равностороннего треугольника (основания) и трех равнобедренных треугольников (боковых граней), примыкающих к его сторонам. Если все грани пирамиды равносторонние (правильный тетраэдр), то все четыре треугольника в развертке будут равносторонними и одинаковыми.
2. Для построения развертки:
   • Начертите равносторонний треугольник, который будет служить основанием пирамиды. Его сторона может быть, например, 8-10 см.
   • От каждой стороны этого равностороннего треугольника начертите равнобедренный треугольник. Основанием каждого такого треугольника является сторона основного равностороннего треугольника, а две другие равные стороны будут боковыми ребрами пирамиды. Длину боковых ребер вы можете выбрать произвольно, но так, чтобы она была больше половины стороны основания. Для наиболее распространенной модели, представляющей правильный тетраэдр, все четыре треугольника должны быть равносторонними и одинакового размера. В этом случае вы чертите один равносторонний треугольник, а к каждой его стороне присоединяете еще по одному равностороннему треугольнику того же размера.
3. Добавьте небольшие клапаны (1-1.5 см шириной) по внешним сторонам некоторых треугольников (кроме внешних сторон развертки, которые будут скрепляться с другими гранями), чтобы их можно было склеить.
4. Аккуратно вырежьте развертку по внешним контурам.
5. Сделайте сгибы по всем линиям, разделяющим основание и боковые грани, а также по линиям клапанов.
6. Нанесите клей на клапаны и аккуратно склейте боковые грани между собой и к основанию, формируя объемную пирамиду. Удерживайте детали, пока клей не схватится.

Ответ: Модель правильной треугольной пирамиды может быть изготовлена путем создания соответствующей развертки из равностороннего основания и трех равнобедренных (или равносторонних, если это тетраэдр) боковых граней, с последующим вырезанием, сгибанием и склеиванием.

Найдите площадь ее поверхности

Дано:

Правильная треугольная пирамида.

Обозначения:

$a$ - длина стороны основания (равностороннего треугольника)

$b$ - длина бокового ребра (ребра, соединяющего вершину пирамиды с вершинами основания)

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как задача носит теоретический характер и не содержит числовых данных. Площадь поверхности будет выражена в квадратных единицах, соответствующих единицам измерения длины $a$ и $b$.

Найти:

Площадь поверхности $S_{пов}$ правильной треугольной пирамиды.

Решение:

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды состоит из площади ее основания и площади боковой поверхности.

1. Площадь основания ($S_{осн}$):

Основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником со стороной $a$. Формула площади равностороннего треугольника:

$S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Основание каждого такого треугольника равно $a$, а боковые стороны равны $b$ (длине бокового ребра). Для нахождения площади каждого бокового треугольника нам потребуется его высота, называемая апофемой пирамиды ($l$).

Апофема $l$ является высотой равнобедренного треугольника боковой грани, опущенной на сторону $a$. Ее можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $b$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$, и апофемой $l$:

$l^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$l = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Площадь одной боковой грани ($S_{бок.грани}$) равна:

$S_{бок.грани} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Поскольку боковых граней три, площадь боковой поверхности пирамиды будет:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{бок.грани} = 3 \cdot \frac{1}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{3}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

3. Общая площадь поверхности ($S_{пов}$):

Общая площадь поверхности пирамиды - это сумма площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{пов} = S_{осн} + S_{бок}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Отдельный случай: Если пирамида является правильным тетраэдром (все четыре грани - равносторонние треугольники), то $b = a$. В этом случае формула упрощается:

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}$

$S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2$

$S_{пов} = \frac{4\sqrt{3}}{4} a^2 = \sqrt{3} a^2$

Ответ: Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды определяется как сумма площади основания и площади боковой поверхности. Общая формула для площади поверхности, где $a$ — сторона основания, а $b$ — длина бокового ребра, равна $S_{пов} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3}{2} a \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$. В частном случае правильного тетраэдра, где все грани равносторонние треугольники со стороной $a$, площадь поверхности равна $\sqrt{3} a^2$.

Уровень В

78. Изобразите высоту пирамиды и найдите ее длину, если основанием пирамиды является:

а) прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 10 дм, а каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$;

б) тупоугольный треугольник со сторонами 6 см, 6 см, $6\sqrt{3}$ см, а каждое боковое ребро пирамиды равно 10 см.

а)

Дано

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник.

Гипотенуза основания $c = 10$ дм.

Угол между каждым боковым ребром и плоскостью основания $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$c = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$.

$\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Длину высоты пирамиды $H$.

Решение

Если все боковые ребра пирамиды образуют одинаковые углы с плоскостью основания, то проекция вершины пирамиды на основание является центром описанной окружности около основания.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

$R = \frac{10 \text{ дм}}{2} = 5 \text{ дм}$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ (проекция бокового ребра на основание) и само боковое ребро $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и плоскостью основания $\alpha$ является углом между боковым ребром и его проекцией $R$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем соотношение:

$\tan \alpha = \frac{H}{R}$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = R \tan \alpha$

Подставим известные значения:

$H = 5 \text{ дм} \cdot \tan 60^\circ$

$H = 5 \text{ дм} \cdot \sqrt{3}$

$H = 5\sqrt{3} \text{ дм}$

Ответ: $5\sqrt{3}$ дм.

б)

Дано

Основание пирамиды – тупоугольный треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 6$ см, $c = 6\sqrt{3}$ см.

Длина каждого бокового ребра пирамиды $L = 10$ см.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

$c = 6\sqrt{3} \text{ см} \approx 0.1039 \text{ м}$.

$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Длину высоты пирамиды $H$.

Решение

Если все боковые ребра пирамиды равны, то проекция вершины пирамиды на основание является центром описанной окружности около основания.

Найдем радиус описанной окружности $R$ около треугольника со сторонами $a = 6$ см, $b = 6$ см, $c = 6\sqrt{3}$ см.

Данный треугольник является равнобедренным. Для нахождения площади $K$ проведем высоту $h_c$ к стороне $c$. Эта высота делит сторону $c$ пополам. Длина половины стороны $c$ будет $c/2 = 6\sqrt{3}/2 = 3\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (6 см), половиной основания ($3\sqrt{3}$ см) и высотой $h_c$, по теореме Пифагора:

$h_c^2 + (3\sqrt{3})^2 = 6^2$

$h_c^2 + 27 = 36$

$h_c^2 = 36 - 27$

$h_c^2 = 9$

$h_c = 3 \text{ см}$.

Площадь треугольника $K$ вычисляется по формуле:

$K = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

$K = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Радиус описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $K$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4K}$

$R = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3}}{4 \cdot 9\sqrt{3}}$

$R = \frac{216\sqrt{3}}{36\sqrt{3}}$

$R = 6 \text{ см}$.

Высота пирамиды $H$, радиус описанной окружности $R$ и боковое ребро $L$ образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро $L$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

Отсюда выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2}$

Подставим известные значения:

$H = \sqrt{10^2 - 6^2}$

$H = \sqrt{100 - 36}$

$H = \sqrt{64}$

$H = 8 \text{ см}$.

Ответ: $8$ см.

79. Основание пирамиды – треугольник со сторонами 10 м, 10 м, 12 м. Боковые грани пирамиды образуют с основанием равные двугранные углы по $45^\circ$. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано:
Стороны основания треугольника: $a = 10 \, м$, $b = 10 \, м$, $c = 12 \, м$.
Двугранный угол между боковыми гранями и основанием: $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ: Данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы).

Найти:
Высота пирамиды $H$.

Решение:
Поскольку все боковые грани пирамиды образуют с основанием равные двугранные углы, вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания. Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и двугранный угол $\alpha$ связаны соотношением $H = r \cdot \tan(\alpha)$.
Для начала найдем площадь основания треугольника и радиус вписанной в него окружности.
Основание представляет собой равнобедренный треугольник со сторонами 10 м, 10 м, 12 м.
Найдем полупериметр $s$:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, м$.
Используем формулу Герона для нахождения площади $A$ основания:
$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$A = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$
$A = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4}$
$A = \sqrt{(4^2) \cdot (6^2) \cdot (2^2)}$
$A = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48 \, м^2$.
Теперь найдем радиус $r$ вписанной окружности, используя формулу $r = \frac{A}{s}$:
$r = \frac{48}{16} = 3 \, м$.
Теперь можем найти высоту пирамиды $H$, используя отношение:
$H = r \cdot \tan(\alpha)$
$H = 3 \cdot \tan(45^\circ)$
Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$:
$H = 3 \cdot 1 = 3 \, м$.

Ответ: $3 \, м$.

80. Изготовьте модель пирамиды, основанием которой является:

а) прямоугольный треугольник, а две боковые грани перпендикулярны основанию;

б) прямоугольник, а основанием высоты – центр окружности, описанной около него.

а) прямоугольный треугольник, а две боковые грани перпендикулярны основанию;

Для создания модели пирамиды, основанием которой является прямоугольный треугольник, а две боковые грани перпендикулярны основанию, следует выполнить следующие шаги:

1. Начертите на плоскости (или вырежьте из картона) прямоугольный треугольник $ABC$. Обозначьте его вершины. Пусть прямой угол будет при вершине $C$.

2. Из вершины $C$ восстановите перпендикуляр к плоскости треугольника $ABC$. Длина этого перпендикуляра будет высотой пирамиды $SC$. Обозначьте верхнюю точку этого перпендикуляра как $S$ (вершина пирамиды).

3. Соедините вершину $S$ с оставшимися вершинами основания $A$ и $B$ прямыми линиями. Эти линии $SA$ и $SB$ будут боковыми ребрами пирамиды.

В результате вы получите пирамиду $SABC$, где основание $ABC$ – прямоугольный треугольник. Боковые грани $SAC$ и $SBC$ будут перпендикулярны плоскости основания, так как они содержат ребро $SC$, перпендикулярное основанию.

Ответ:

б) прямоугольник, а основанием высоты – центр окружности, описанной около него.

Для создания модели пирамиды, основанием которой является прямоугольник, а основанием высоты – центр окружности, описанной около него, следует выполнить следующие шаги:

1. Начертите на плоскости (или вырежьте из картона) прямоугольник $ABCD$.

2. Найдите центр окружности, описанной около прямоугольника. Для прямоугольника этот центр совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Проведите диагонали $AC$ и $BD$. Точку их пересечения обозначьте как $O$.

3. Из точки $O$ восстановите перпендикуляр к плоскости прямоугольника $ABCD$. Длина этого перпендикуляра будет высотой пирамиды $SO$. Обозначьте верхнюю точку этого перпендикуляра как $S$ (вершина пирамиды).

4. Соедините вершину $S$ со всеми вершинами основания $A$, $B$, $C$ и $D$ прямыми линиями. Эти линии $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ будут боковыми ребрами пирамиды.

В результате вы получите пирамиду $SABCD$, где основание $ABCD$ – прямоугольник, а основание высоты $O$ является центром описанной окружности. Такая пирамида называется прямой, и все ее боковые ребра равны между собой (так как $OA=OB=OC=OD$ как радиусы описанной окружности, и $SO$ - общая высота, то по теореме Пифагора $SA = SB = SC = SD = \sqrt{SO^2 + OA^2}$).

Ответ:

81. Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна $112\sqrt{3}$ \text{см}$^2$, а площадь ее боковой поверхности равна $96\sqrt{3}$ \text{см}$^2$. Найдите с точностью до 0,1 см высоту этой пирамиды.

Дано:

Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды $S_{полн} = 112\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок} = 96\sqrt{3}$ см$^2$.

Перевод в СИ:

Так как задача требует найти высоту в сантиметрах и все исходные данные даны в сантиметрах, перевод в систему СИ (метры) не является строго необходимым для получения корректного ответа в требуемых единицах измерения. Однако, если бы требовался ответ в метрах или другие параметры были в различных единицах, конвертация была бы обязательной. В данном случае, все расчеты будут вестись в сантиметрах.

Найти:

Высота пирамиды $H$ с точностью до 0,1 см.

Решение:

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$):

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Отсюда, $S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$

$S_{осн} = 112\sqrt{3} \text{ см}^2 - 96\sqrt{3} \text{ см}^2 = (112 - 96)\sqrt{3} \text{ см}^2 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем сторону основания 'a' (равностороннего треугольника):

Поскольку пирамида правильная треугольная, ее основанием является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной 'a' вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим известное значение $S_{осн}$:

$16\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$16 = \frac{a^2}{4}$

$a^2 = 16 \times 4 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$ см.

3. Найдем периметр основания ($P_{осн}$):

Периметр равностороннего треугольника со стороной 'a' равен:

$P_{осн} = 3a = 3 \times 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

4. Найдем апофему пирамиды ($h_a$) – высоту боковой грани:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$

Подставим известные значения:

$96\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 24 \times h_a$

$96\sqrt{3} = 12 h_a$

$h_a = \frac{96\sqrt{3}}{12} = 8\sqrt{3}$ см.

5. Найдем радиус вписанной окружности в основание ($r$):

Для равностороннего треугольника со стороной 'a' радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставим значение 'a':

$r = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

6. Найдем высоту пирамиды ($H$):

Высота пирамиды $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной окружности основания $r$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2$

$H^2 = h_a^2 - r^2$

$H^2 = (8\sqrt{3})^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2$

$H^2 = (64 \times 3) - \left(\frac{16 \times 3}{9}\right)$

$H^2 = 192 - \frac{48}{9}$

$H^2 = 192 - \frac{16}{3}$

$H^2 = \frac{192 \times 3 - 16}{3} = \frac{576 - 16}{3} = \frac{560}{3}$

$H = \sqrt{\frac{560}{3}}$

Вычислим приближенное значение и округлим до 0,1:

$H \approx \sqrt{186.666...}$

$H \approx 13.6625...$

Округляя до одной десятой, получаем:

$H \approx 13.7$ см.

Ответ: 13.7 см.

82. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в котором $AB=3$ м, $BC=6$ м, $BB_1=12$ м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды $B_1ABC$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

$AB = 3 \text{ м}$

$BC = 6 \text{ м}$

$BB_1 = 12 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды $B_1ABC$.

Решение:

Полная поверхность пирамиды $B_1ABC$ состоит из площади основания $S_{ABC}$ и площадей трех боковых граней $S_{B_1AB}$, $S_{B_1BC}$, $S_{B_1AC}$.

1. Площадь основания $S_{ABC}$:

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, то грань $ABCD$ является прямоугольником. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Треугольник $ABC$ — прямоугольный.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$.

2. Площадь боковой грани $S_{B_1AB}$:

Так как $BB_1$ является ребром прямоугольного параллелепипеда, то $BB_1 \perp$ плоскости основания $ABCD$. Отсюда следует, что $BB_1 \perp AB$. Таким образом, треугольник $B_1AB$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

$S_{B_1AB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$

$S_{B_1AB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 18 \text{ м}^2$.

3. Площадь боковой грани $S_{B_1BC}$:

Аналогично, $BB_1 \perp BC$. Таким образом, треугольник $B_1BC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$.

$S_{B_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$

$S_{B_1BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$.

4. Площадь боковой грани $S_{B_1AC}$:

Для нахождения площади треугольника $B_1AC$ найдем длину его основания $AC$ и высоту, опущенную из $B_1$ на $AC$.

a. Находим длину $AC$:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$

$AC = \sqrt{(3 \text{ м})^2 + (6 \text{ м})^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ м}$.

b. Находим высоту $BH$ в треугольнике $ABC$:

Пусть $BH$ — высота, опущенная из вершины $B$ на гипотенузу $AC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Площадь треугольника $ABC$ может быть также выражена как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

$9 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot BH$

$BH = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} \text{ м}$.

c. Находим высоту $B_1H$ в треугольнике $B_1AC$:

Так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а $BH$ перпендикулярно $AC$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах, $B_1H$ также перпендикулярно $AC$. Следовательно, $B_1H$ является высотой треугольника $B_1AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BH$ (прямой угол при $B$).

$B_1H = \sqrt{BB_1^2 + BH^2}$

$B_1H = \sqrt{(12 \text{ м})^2 + \left(\frac{6\sqrt{5}}{5} \text{ м}\right)^2} = \sqrt{144 + \frac{36 \cdot 5}{25}} = \sqrt{144 + \frac{36}{5}} = \sqrt{\frac{720 + 36}{5}} = \sqrt{\frac{756}{5}} = \frac{\sqrt{756}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{21}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{105}}{5} \text{ м}$.

d. Вычисляем площадь $S_{B_1AC}$:

$S_{B_1AC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot B_1H$

$S_{B_1AC} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \text{ м} \cdot \frac{6\sqrt{105}}{5} \text{ м} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{6\sqrt{5}\sqrt{21}}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{18 \cdot 5 \cdot \sqrt{21}}{5} = 9\sqrt{21} \text{ м}^2$.

5. Находим полную площадь поверхности пирамиды $S_{полн}$:

$S_{полн} = S_{ABC} + S_{B_1AB} + S_{B_1BC} + S_{B_1AC}$

$S_{полн} = 9 \text{ м}^2 + 18 \text{ м}^2 + 36 \text{ м}^2 + 9\sqrt{21} \text{ м}^2 = 63 + 9\sqrt{21} \text{ м}^2$.

Ответ:

$63 + 9\sqrt{21} \text{ м}^2$.

83. Деревянный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 1 дм, распилили на три пирамиды $A_1ABCD$, $A_1BCC_1B_1$, $A_1DCC_1D_1$ (рисунок 59). Объясните, почему эти пирамиды равны и найдите площади их полных поверхностей.

Рисунок 59

Дано:

Деревянный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 1 \text{ дм}$

Куб распилен на три пирамиды: $P_1 = A_1ABCD$, $P_2 = A_1BCC_1B_1$, $P_3 = A_1DCC_1D_1$

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

1. Объяснить, почему эти пирамиды равны.

2. Найти площади их полных поверхностей.

Решение:

Объяснение, почему эти пирамиды равны

В контексте геометрии, "равны" для многогранников часто означает, что они конгруэнтны, то есть могут быть совмещены наложением. Конгруэнтные фигуры имеют равные объемы и равные площади поверхностей.

Рассмотрим структуру каждой из трех пирамид:

1. Пирамида $P_1 = A_1ABCD$:

   Ее основание — это нижняя грань куба $ABCD$.

   Ее боковые грани: $\triangle A_1AB$, $\triangle A_1BC$, $\triangle A_1CD$, $\triangle A_1DA$.

2. Пирамида $P_2 = A_1BCC_1B_1$:

   Ее основание — это боковая грань куба $BCC_1B_1$.

   Ее боковые грани: $\triangle A_1BC$, $\triangle A_1CC_1$, $\triangle A_1C_1B_1$, $\triangle A_1B_1B$.

3. Пирамида $P_3 = A_1DCC_1D_1$:

   Ее основание — это боковая грань куба $DCC_1D_1$.

   Ее боковые грани: $\triangle A_1CD$, $\triangle A_1CC_1$, $\triangle A_1C_1D_1$, $\triangle A_1D_1D$.

Вершина всех трех пирамид — это вершина $A_1$ куба. Все грани куба являются конгруэнтными квадратами со стороной $a$.

Определим типы и площади граней каждой пирамиды:

• Площадь основания: Каждая пирамида имеет в качестве основания одну из граней куба. Все эти грани — квадраты со стороной $a$. Поэтому площади оснований всех трех пирамид равны: $S_{основания} = a^2$.

• Площади боковых граней:

  Для удобства возьмем $a=1 \text{ дм}$. Тогда:

  • Длины ребер куба: $A_1A = AB = AD = BC = CD = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1 = D_1A_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 1 \text{ дм}$.
  • Длины диагоналей граней: $A_1B = A_1D = A_1C_1 = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ дм}$.
  • Длина пространственной диагонали: $A_1C = \sqrt{a^2+(a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2+2a^2} = a\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ дм}$.

  Теперь рассмотрим боковые грани каждой пирамиды:

  • Пирамида $P_1 = A_1ABCD$:
    • $\triangle A_1AB$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $A$). Катеты $A_1A=a$ и $AB=a$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1AD$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $A$). Катеты $A_1A=a$ и $AD=a$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1BC$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $B$, так как $A_1B^2 + BC^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 3a^2 = (a\sqrt{3})^2 = A_1C^2$). Катеты $A_1B=a\sqrt{2}$ и $BC=a$. Площадь $S_3 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1CD$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $D$, аналогично $\triangle A_1BC$). Катеты $A_1D=a\sqrt{2}$ и $CD=a$. Площадь $S_4 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$.
  • Пирамида $P_2 = A_1BCC_1B_1$:
    • $\triangle A_1BC$: $S_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$ (уже вычислено).
    • $\triangle A_1CC_1$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $C_1$, так как $A_1C_1 \perp CC_1$). Катеты $A_1C_1=a\sqrt{2}$ и $CC_1=a$. Площадь $S_5 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot a = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1C_1B_1$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $B_1$). Катеты $A_1B_1=a$ и $B_1C_1=a$. Площадь $S_6 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1B_1B$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $B_1$). Катеты $A_1B_1=a$ и $B_1B=a$. Площадь $S_7 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
  • Пирамида $P_3 = A_1DCC_1D_1$:

    Эта пирамида является зеркальным отражением пирамиды $P_2$ относительно плоскости, проходящей через $A_1C_1$ и параллельной оси $y$. Таким образом, она будет конгруэнтна $P_2$. Ее грани попарно конгруэнтны граням $P_2$.

    • $\triangle A_1CD$: $S_4 = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$ (уже вычислено).
    • $\triangle A_1CC_1$: $S_5 = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$ (уже вычислено).
    • $\triangle A_1C_1D_1$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $D_1$). Катеты $A_1D_1=a$ и $D_1C_1=a$. Площадь $S_8 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.
    • $\triangle A_1D_1D$: прямоугольный треугольник (прямой угол при $D_1$). Катеты $A_1D_1=a$ и $D_1D=a$. Площадь $S_9 = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$.

Суммируя, каждая из трех пирамид имеет в качестве основания квадрат со стороной $a$, две боковые грани являются прямоугольными треугольниками с катетами $a, a$ (площадью $\frac{1}{2}a^2$), и две боковые грани являются прямоугольными треугольниками с катетами $a, a\sqrt{2}$ (площадью $\frac{\sqrt{2}}{2}a^2$). Поскольку все соответствующие грани конгруэнтны, сами пирамиды конгруэнтны. Из конгруэнтности следует равенство объемов и площадей полных поверхностей.

Для подтверждения равенства объемов:

• Объем пирамиды $P_1 = A_1ABCD$: $V_1 = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot AA_1 = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{1}{3} a^3$.
• Объем пирамиды $P_2 = A_1BCC_1B_1$: Высота пирамиды $A_1BCC_1B_1$ (расстояние от $A_1$ до плоскости $BCC_1B_1$) равна $a$. Например, если $A_1$ имеет координаты $(0,0,a)$ и грань $BCC_1B_1$ лежит в плоскости $x=a$, то расстояние равно $a$. $V_2 = \frac{1}{3} S_{BCC_1B_1} \cdot a = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{1}{3} a^3$.
• Объем пирамиды $P_3 = A_1DCC_1D_1$: Высота пирамиды $A_1DCC_1D_1$ (расстояние от $A_1$ до плоскости $DCC_1D_1$) также равна $a$. Например, если $A_1$ имеет координаты $(0,0,a)$ и грань $DCC_1D_1$ лежит в плоскости $y=a$, то расстояние равно $a$. $V_3 = \frac{1}{3} S_{DCC_1D_1} \cdot a = \frac{1}{3} a^2 \cdot a = \frac{1}{3} a^3$.

Таким образом, все три пирамиды имеют одинаковый объем $V = \frac{1}{3} a^3$. Сумма их объемов составляет $3 \cdot \frac{1}{3} a^3 = a^3$, что равно объему исходного куба.

Ответ: Эти пирамиды равны (конгруэнтны), так как имеют одинаковые наборы соответствующих граней (по одной квадратной грани $a \times a$, по две прямоугольные треугольные грани с катетами $a, a$ и по две прямоугольные треугольные грани с катетами $a, a\sqrt{2}$). Из конгруэнтности следует равенство их объемов.

Площади их полных поверхностей

Поскольку все три пирамиды конгруэнтны, их полные поверхности будут равны. Найдем площадь полной поверхности для одной из них, например, для $P_1 = A_1ABCD$.

Полная площадь поверхности пирамиды $S_{полн} = S_{основания} + S_{боковых}$.

Применим значение $a = 1 \text{ дм}$.

Площадь основания $S_{ABCD} = a^2 = (1 \text{ дм})^2 = 1 \text{ дм}^2$.

Площади боковых граней:

• $S_{A_1AB} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2} \text{ дм}^2$.
• $S_{A_1AD} = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2} \text{ дм}^2$.
• $S_{A_1BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} (1)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}^2$.
• $S_{A_1CD} = \frac{\sqrt{2}}{2} a^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} (1)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ дм}^2$.

Суммарная площадь боковых граней $S_{боковых} = S_{A_1AB} + S_{A_1AD} + S_{A_1BC} + S_{A_1CD} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \text{ дм}^2$.

Полная площадь поверхности пирамиды $P_1$:

$S_{полн}(P_1) = S_{основания} + S_{боковых} = a^2 + (1+\sqrt{2})a^2 = 1 + (1+\sqrt{2}) = (2+\sqrt{2}) \text{ дм}^2$.

Поскольку $P_2$ и $P_3$ конгруэнтны $P_1$, их площади полных поверхностей будут такими же.

Переведем результат в систему СИ:

$a = 0.1 \text{ м}$.

$S_{полн} = (2+\sqrt{2})a^2 = (2+\sqrt{2})(0.1 \text{ м})^2 = (2+\sqrt{2}) \cdot 0.01 \text{ м}^2$.

Ответ: Площади полных поверхностей всех трех пирамид равны $(2+\sqrt{2}) \text{ дм}^2$ или $(2+\sqrt{2}) \cdot 0.01 \text{ м}^2$.