Страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

63. a) Объясните, почему любая пирамида имеет четное число ребер.

б) Сколько граней и ребер у пирамиды, в которой 15 вершин?

в) Сколько вершин и граней у пирамиды, в которой 16 ребер?

а) Объясните, почему любая пирамида имеет четное число ребер.

Основанием любой пирамиды является многоугольник. Пусть этот многоугольник имеет $n$ сторон (или $n$ вершин). Каждая из $n$ сторон основания является ребром пирамиды. Кроме того, из каждой из $n$ вершин основания к апексу (вершине) пирамиды ведет одно ребро. Таким образом, существует $n$ боковых ребер. Общее число ребер пирамиды равно сумме числа ребер основания и числа боковых ребер. Следовательно, количество ребер $E = n + n = 2n$. Поскольку $n$ — это целое число (количество сторон многоугольника, $n \ge 3$), то $2n$ всегда будет четным числом.
Ответ: Любая пирамида имеет четное число ребер, потому что число ребер равно удвоенному числу сторон основания ($2n$), а $2n$ всегда является четным числом.

б) Сколько граней и ребер у пирамиды, в которой 15 вершин?

Дано:
Количество вершин пирамиды $V = 15$

Перевод в СИ: Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются количеством элементов и не имеют физических единиц измерения.

Найти:
Количество граней $F$
Количество ребер $E$

Решение:
Пусть основание пирамиды является $n$-угольником. Количество вершин пирамиды $V$ выражается формулой $V = n + 1$, где $n$ — количество вершин основания, и еще одна вершина — это апекс пирамиды.
Известно, что $V = 15$.
Подставляем значение $V$ в формулу:
$15 = n + 1$
$n = 15 - 1 = 14$.
Таким образом, основание пирамиды — 14-угольник.

Теперь найдем количество граней $F$. Количество граней пирамиды равно числу граней основания (1 грань) плюс числу боковых граней. Число боковых граней равно числу сторон основания, то есть $n$.
Формула для количества граней: $F = n + 1$.
Подставляем $n = 14$:
$F = 14 + 1 = 15$.

Далее найдем количество ребер $E$. Количество ребер пирамиды равно числу ребер основания (равному $n$) плюс числу боковых ребер (также равному $n$).
Формула для количества ребер: $E = n + n = 2n$.
Подставляем $n = 14$:
$E = 2 \times 14 = 28$.

Ответ:
У пирамиды 15 граней и 28 ребер.

в) Сколько вершин и граней у пирамиды, в которой 16 ребер?

Дано:
Количество ребер пирамиды $E = 16$

Перевод в СИ: Данные не требуют перевода в систему СИ, так как являются количеством элементов и не имеют физических единиц измерения.

Найти:
Количество вершин $V$
Количество граней $F$

Решение:
Пусть основание пирамиды является $n$-угольником. Количество ребер пирамиды $E$ выражается формулой $E = 2n$, где $n$ — количество ребер основания, и $n$ — количество боковых ребер.
Известно, что $E = 16$.
Подставляем значение $E$ в формулу:
$16 = 2n$
$n = 16 / 2 = 8$.
Таким образом, основание пирамиды — 8-угольник.

Теперь найдем количество вершин $V$. Количество вершин пирамиды равно числу вершин основания (равному $n$) плюс одна вершина (апекс).
Формула для количества вершин: $V = n + 1$.
Подставляем $n = 8$:
$V = 8 + 1 = 9$.

Далее найдем количество граней $F$. Количество граней пирамиды равно числу граней основания (1 грань) плюс числу боковых граней (равному $n$).
Формула для количества граней: $F = n + 1$.
Подставляем $n = 8$:
$F = 8 + 1 = 9$.

Ответ:
У пирамиды 9 вершин и 9 граней.

64. a) Основанием пирамиды является параллелограмм. Две соседние ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а длина меньшего бокового ребра равна 17 см. Найдите высоту пирамиды.

б) Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна 4 дм. Одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а противоположное ему ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

а)

Дано:
Основание пирамиды – параллелограмм.
Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
Длина меньшего бокового ребра $l_{min} = 17$ см.

Перевод в СИ:
$l_{min} = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$.

Найти: Высоту пирамиды $H$.

Решение:
Пусть основание пирамиды – параллелограмм $ABCD$, а вершина – $S$.
Если две соседние боковые грани пирамиды, например $SAB$ и $SAD$, перпендикулярны плоскости основания $ABCD$, то их общее ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания.
Следовательно, ребро $SA$ является высотой пирамиды $H$.
Рассмотрим длины боковых ребер пирамиды: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$.
Так как $SA$ является высотой, то треугольники $SAB$, $SAD$ и $SAC$ (если провести диагональ $AC$) являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).
Длины других боковых ребер вычисляются по теореме Пифагора:
$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2}$
$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2}$
$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2}$
Поскольку $AB > 0$, $AD > 0$, $AC > 0$, то $SB > SA$, $SD > SA$, $SC > SA$.
Из этого следует, что наименьшим боковым ребром является ребро $SA$.
По условию задачи, длина меньшего бокового ребра равна 17 см.
Значит, высота пирамиды $H = SA = 17$ см.

Ответ: 17 см.

б)

Дано:
Основание пирамиды – квадрат со стороной $a = 4$ дм.
Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания.
Противоположное ему ребро наклонено к плоскости основания под углом $\alpha = 45^\circ$.

Перевод в СИ:
$a = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$.
$\alpha = 45^\circ$.

Найти: Высоту пирамиды $H$.

Решение:
Пусть основанием пирамиды является квадрат $ABCD$, а вершина – $S$.
По условию, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро $SA$.
Тогда $SA$ является высотой пирамиды ($H = SA$), и $SA \perp (ABCD)$.
Ребро, противоположное ребру $SA$, это ребро $SC$.
Угол между ребром $SC$ и плоскостью основания $ABCD$ – это угол между ребром $SC$ и его проекцией на плоскость основания.
Так как $SA \perp (ABCD)$, то точка $A$ является проекцией вершины $S$ на плоскость основания. Следовательно, проекцией ребра $SC$ на плоскость основания является диагональ $AC$ квадрата.
Таким образом, угол наклона ребра $SC$ к плоскости основания – это угол $\angle SCA$.
По условию, $\angle SCA = 45^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAC$ (угол $\angle SAC = 90^\circ$, так как $SA \perp AC$).
Длина диагонали квадрата со стороной $a$ находится по формуле: $AC = a\sqrt{2}$.
Для данного квадрата $a = 4$ дм, поэтому $AC = 4\sqrt{2}$ дм.
В прямоугольном треугольнике $SAC$ тангенс угла $\angle SCA$ равен отношению противолежащего катета $SA$ к прилежащему катету $AC$:
$\tan(\angle SCA) = \frac{SA}{AC}$
Подставляем известные значения:
$\tan(45^\circ) = \frac{H}{4\sqrt{2}}$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$1 = \frac{H}{4\sqrt{2}}$
Отсюда, $H = 4\sqrt{2}$ дм.

Ответ: $4\sqrt{2}$ дм.

65. Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, каждое ребро которой равно 9 см. Найдите:

а) плоский угол пирамиды при ее вершине $S$;

б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

в) косинус угла наклона боковой грани к плоскости основания;

г) высоту пирамиды.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Длина каждого ребра (сторона основания $a$ и боковое ребро $l$) $a = l = 9$ см.

Перевод в СИ:

$a = 9$ см $= 0.09$ м

$l = 9$ см $= 0.09$ м

Найти:

а) плоский угол пирамиды при ее вершине S

б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания

в) косинус угла наклона боковой грани к плоскости основания

г) высоту пирамиды

Решение:

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основанием $ABCD$ является квадрат, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Все боковые ребра равны, и все стороны основания равны.

Нам дано, что $a = 9$ см (сторона основания) и $l = 9$ см (боковое ребро).

а) плоский угол пирамиды при ее вершине S;

Плоскими углами при вершине $S$ являются углы боковых граней, например, $\angle ASB$. Рассмотрим треугольник $SAB$. Его стороны $SA$, $SB$ и $AB$ являются ребрами пирамиды. По условию, $SA = SB = AB = 9$ см.

Так как все три стороны треугольника $SAB$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, плоский угол при вершине $S$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

Угол наклона бокового ребра $SA$ к плоскости основания $ABCD$ - это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ на плоскость основания, то есть $\angle SAO$.

Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является центр квадрата $O$. Поэтому $SO$ - высота пирамиды.

Треугольник $SAO$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $O$.

Длина бокового ребра $SA = l = 9$ см.

Длина отрезка $AO$ равна половине диагонали основания $AC$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

$AC = 9\sqrt{2}$ см.

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

В прямоугольном треугольнике $SAO$ косинус угла $\angle SAO$ равен отношению прилежащего катета $AO$ к гипотенузе $SA$:

$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{9} = \frac{9\sqrt{2}}{2 \cdot 9} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) косинус угла наклона боковой грани к плоскости основания;

Угол наклона боковой грани $SAB$ к плоскости основания $ABCD$ - это угол между апофемой боковой грани $SM$ (где $M$ - середина $AB$) и отрезком $OM$ (который является радиусом вписанной окружности в основание, или апофемой основания).

Треугольник $SOM$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $O$.

Длина отрезка $OM$ равна половине стороны квадрата $AB$:

$OM = \frac{a}{2} = \frac{9}{2}$ см.

Длина апофемы боковой грани $SM$. Так как треугольник $SAB$ равносторонний (как показано в пункте а)), $SM$ - это высота равностороннего треугольника со стороной $a$.

$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см.

Косинус угла наклона боковой грани $\angle SMO$ равен отношению прилежащего катета $OM$ к гипотенузе $SM$:

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{9\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) высоту пирамиды.

Высота пирамиды - это отрезок $SO$. Мы можем найти ее из прямоугольного треугольника $SAO$ или $SOM$.

Используем треугольник $SAO$:

По теореме Пифагора: $SO^2 = SA^2 - AO^2$.

$SO^2 = 9^2 - \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 81 - \frac{81 \cdot 2}{4} = 81 - \frac{81}{2} = \frac{162 - 81}{2} = \frac{81}{2}$.

$SO = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

Или, используя треугольник $SOM$:

По теореме Пифагора: $SO^2 = SM^2 - OM^2$.

$SO^2 = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81 \cdot 3}{4} - \frac{81}{4} = \frac{243 - 81}{4} = \frac{162}{4} = \frac{81}{2}$.

$SO = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ см

66. В правильной треугольной пирамиде $DABC$ плоские углы при вершине $D$ прямые, а сторона основания $ABC$ равна 12 см. Найдите:

а) апофему пирамиды;

б) угол между ее ребром $BC$ и медианой $DM$ грани $DAB$;

в) высоту пирамиды.

Дано:
Пирамида $DABC$ - правильная треугольная.
Плоские углы при вершине $D$ прямые: $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 90^\circ$.
Сторона основания $ABC$: $AB = BC = CA = a = 12$ см.

Перевод в СИ:
Сторона основания $a = 12$ см $= 0.12$ м. (Для данной задачи удобно оставить в см).

Найти:
а) апофему пирамиды ($h_a$);
б) угол между ребром $BC$ и медианой $DM$ грани $DAB$;
в) высоту пирамиды ($H$).

Решение:

Поскольку пирамида $DABC$ правильная, ее основание $ABC$ - равносторонний треугольник. Так как плоские углы при вершине $D$ прямые ($\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 90^\circ$), а боковые грани являются равнобедренными треугольниками (так как пирамида правильная, $DA=DB=DC$), то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными. Обозначим длину бокового ребра через $x$. Тогда $DA=DB=DC=x$. Рассмотрим грань $DAB$. $\triangle DAB$ - прямоугольный, с гипотенузой $AB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = DA^2 + DB^2$. $a^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$. Подставим значение $a = 12$ см: $12^2 = 2x^2$
$144 = 2x^2$
$x^2 = 72$
$x = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см. Итак, длины боковых ребер: $DA = DB = DC = 6\sqrt{2}$ см.

а) апофему пирамиды
Апофема пирамиды - это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. Рассмотрим грань $DAB$. Она является равнобедренным прямоугольным треугольником ($DA=DB=6\sqrt{2}$ см, $\angle ADB = 90^\circ$). Медиана $DM$ в грани $DAB$ (где $M$ - середина $AB$) является апофемой пирамиды. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому $DM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Ответ: $6$ см.

б) угол между ее ребром $BC$ и медианой $DM$ грани $DAB$
Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $BC$ и $DM$, найдем прямую, параллельную одной из них и пересекающую другую. Пусть $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $AC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Теперь задача сводится к нахождению угла между прямыми $DM$ и $MN$. Рассмотрим треугольник $DMN$. Мы уже знаем: 1. $DM = 6$ см (апофема из пункта а). 2. $MN = 6$ см. Найдем $DN$. $DN$ - медиана в грани $DAC$. Так как $\triangle DAC$ - равнобедренный прямоугольный ($DA=DC=6\sqrt{2}$ см, $\angle CDA = 90^\circ$), то $DN$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AC$. $DN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Таким образом, в $\triangle DMN$ все стороны равны: $DM = MN = DN = 6$ см. Следовательно, $\triangle DMN$ является равносторонним треугольником. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Значит, угол между $DM$ и $MN$ (а значит, и между $DM$ и $BC$) равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

в) высоту пирамиды
Высота пирамиды $H = DO$, где $O$ - центр основания $\triangle ABC$. В правильной треугольной пирамиде проекция вершины на основание ($O$) совпадает с центром вписанной и описанной окружностей основания, а также с точкой пересечения медиан (центроидом) основания. Рассмотрим $\triangle ABC$. $M$ - середина $AB$. $CM$ - медиана основания. Длина медианы равностороннего треугольника: $CM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Точка $O$ делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому $OM = \frac{1}{3} CM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$. Угол $\angle DOM = 90^\circ$, так как $DO$ - высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания. По теореме Пифагора: $DO^2 + OM^2 = DM^2$. $H^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6^2$
$H^2 + (4 \cdot 3) = 36$
$H^2 + 12 = 36$
$H^2 = 36 - 12$
$H^2 = 24$
$H = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.
Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

67. a) Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна $48 \text{ см}^2$, а сторона основания $8 \text{ см}$.

б) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна $10 \text{ см}$, а плоский угол при вершине $60^\circ$.

a)

Дано:

правильная треугольная пирамида

площадь боковой поверхности $A_b = 48 \text{ см}^2$

сторона основания $a = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$A_b = 48 \text{ см}^2 = 48 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 0.0048 \text{ м}^2$

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

боковое ребро $L$

Решение:

боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников (боковых граней). площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $A_b = \frac{1}{2} P_b h_a$, где $P_b$ - периметр основания, а $h_a$ - апофема (высота боковой грани).

периметр основания для правильной треугольной пирамиды: $P_b = 3a$.

подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности:

$48 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 8 \text{ см}) \cdot h_a$

$48 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot h_a$

$48 = 12 \cdot h_a$

отсюда находим апофему $h_a$:

$h_a = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}$

для нахождения бокового ребра $L$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и боковым ребром $L$ (гипотенуза). по теореме пифагора:

$L^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

подставим значения:

$L^2 = (4 \text{ см})^2 + \left(\frac{8 \text{ см}}{2}\right)^2$

$L^2 = 4^2 + 4^2$

$L^2 = 16 + 16$

$L^2 = 32$

$L = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}$ или $0.04\sqrt{2} \text{ м}$

б)

Дано:

правильная треугольная пирамида

сторона основания $a = 10 \text{ см}$

плоский угол при вершине $\alpha = 60^{\circ}$

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

угол остается $60^{\circ}$

Найти:

площадь боковой поверхности $A_b$

Решение:

правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник, и ее боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

плоский угол при вершине - это угол между двумя боковыми ребрами в каждой боковой грани. так как этот угол равен $60^{\circ}$ и боковые грани являются равнобедренными треугольниками (боковые ребра $L$ равны), то углы при основании боковой грани также будут равны $\frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$. таким образом, каждая боковая грань является равносторонним треугольником.

следовательно, боковое ребро $L$ равно стороне основания $a$.

$L = a = 10 \text{ см}$

площадь одной боковой грани (равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

$S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (10 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$

площадь боковой поверхности $A_b$ состоит из трех таких граней:

$A_b = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 25\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $75\sqrt{3} \text{ см}^2$ или $0.0075\sqrt{3} \text{ м}^2$

68. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Какую длину имеет высота этой пирамиды, если площадь ее полной поверхности равна $96 \text{ см}^2$?

Дано

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды: $a = 6 \text{ см}$

Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн} = 96 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

Сторона основания: $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 96 \text{ см}^2 = 0.0096 \text{ м}^2$

Найти:

Высота пирамиды: $h$

Решение

1. Найдем площадь основания пирамиды. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основание - квадрат со стороной $a$.

$S_{осн} = a^2$

$S_{осн} = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Отсюда, $S_{бок} = S_{полн} - S_{осн}$

$S_{бок} = 96 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2 = 60 \text{ см}^2$

3. Найдем периметр основания пирамиды:

$P_{осн} = 4a$

$P_{осн} = 4 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$

4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды также можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$, где $l$ - апофема (высота боковой грани).

Выразим апофему $l$ из этой формулы:

$l = \frac{2 \cdot S_{бок}}{P_{осн}}$

$l = \frac{2 \cdot 60 \text{ см}^2}{24 \text{ см}} = \frac{120 \text{ см}^2}{24 \text{ см}} = 5 \text{ см}$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания, то есть $a/2$.

$a/2 = 6 \text{ см} / 2 = 3 \text{ см}$

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (a/2)^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - (a/2)^2$

$h^2 = (5 \text{ см})^2 - (3 \text{ см})^2$

$h^2 = 25 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2$

$h^2 = 16 \text{ см}^2$

$h = \sqrt{16 \text{ см}^2}$

$h = 4 \text{ см}$

Ответ: $h = 4 \text{ см}$.

69. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10 см, а ее апофема равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды.

Дано:

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды: $a = 10 \text{ см}$

Апофема пирамиды: $l = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$l = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$)

Решение:

Площадь полной поверхности правильной пирамиды равна сумме площади ее основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1.

Найдем площадь основания ($S_{осн}$). Основанием является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставим значение $a = 10 \text{ см}$:

$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (10 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 100 \text{ см}^2 = 150\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2.

Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из $n$ одинаковых равнобедренных треугольников (граней), где $n$ - количество сторон основания. Для шестиугольной пирамиды $n=6$. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot l$, где $P_{осн}$ - периметр основания, а $l$ - апофема пирамиды.

Периметр основания: $P_{осн} = n \cdot a = 6 \cdot 10 \text{ см} = 60 \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 30 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$.

3.

Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 150\sqrt{3} \text{ см}^2 + 240 \text{ см}^2$.

Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

$S_{полн} \approx 150 \cdot 1.732 + 240 = 259.8 + 240 = 499.8 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности пирамиды составляет $(150\sqrt{3} + 240) \text{ см}^2$, или приблизительно $499.8 \text{ см}^2$.

70. Высота пирамиды равна 4 м и совпадает с одним из боковых ребер. Найдите площадь ее полной поверхности, если основанием пирамиды является:

а) квадрат со стороной 3 м;

б) равносторонний треугольник со стороной $2\sqrt{3}$ м.

Дано:

Высота пирамиды $H = 4 \text{ м}$.

Высота совпадает с одним из боковых ребер.

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$).

Решение:

Если высота пирамиды совпадает с одним из боковых ребер, это означает, что одно из ребер (назовем его $VA$) перпендикулярно плоскости основания. В таком случае, грани, содержащие это ребро ($VA$), являются прямоугольными треугольниками. Остальные боковые грани - это треугольники, для которых необходимо вычислить длины их сторон и, при необходимости, высоты.

а) квадрат со стороной 3 м;

Дано:

Основание - квадрат со стороной $a = 3 \text{ м}$.

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

1. Площадь основания ($S_{осн}$):

Основание - квадрат со стороной $a = 3 \text{ м}$.

$S_{осн} = a^2 = (3 \text{ м})^2 = 9 \text{ м}^2$.

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Пусть вершина пирамиды $V$, а основание - квадрат $ABCD$. Пусть ребро $VA$ является высотой пирамиды, т.е. $VA = H = 4 \text{ м}$ и $VA \perp \text{плоскости } ABCD$.

Грани, примыкающие к ребру $VA$:

Треугольник $VAB$: является прямоугольным, так как $VA \perp AB$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AB = 3 \text{ м}$.

$S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \text{ м}^2$.

Треугольник $VAD$: является прямоугольным, так как $VA \perp AD$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AD = 3 \text{ м}$.

$S_{VAD} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \text{ м}^2$.

Остальные боковые грани:

Треугольник $VBC$: Стороны основания $BC = 3 \text{ м}$.

Длина ребра $VB = \sqrt{VA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

Длина ребра $VC = \sqrt{VA^2 + AC^2}$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ м}$.

$VC = \sqrt{4^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34} \text{ м}$.

Треугольник $VBC$ имеет стороны $3 \text{ м}$, $5 \text{ м}$ и $\sqrt{34} \text{ м}$. Проверим, является ли он прямоугольным: $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Так как $34 = (\sqrt{34})^2$, то треугольник $VBC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($VB \perp BC$).

$S_{VBC} = \frac{1}{2} \cdot VB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5 \text{ м}^2$.

Треугольник $VCD$: Стороны основания $CD = 3 \text{ м}$.

Длина ребра $VD = \sqrt{VA^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

Длина ребра $VC = \sqrt{34} \text{ м}$ (рассчитано ранее).

Треугольник $VCD$ имеет стороны $3 \text{ м}$, $5 \text{ м}$ и $\sqrt{34} \text{ м}$. Проверим, является ли он прямоугольным: $3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Так как $34 = (\sqrt{34})^2$, то треугольник $VCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($VD \perp CD$).

$S_{VCD} = \frac{1}{2} \cdot VD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5 \text{ м}^2$.

Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{VAB} + S_{VAD} + S_{VBC} + S_{VCD} = 6 + 6 + 7.5 + 7.5 = 27 \text{ м}^2$.

3. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 9 + 27 = 36 \text{ м}^2$.

Ответ: $36 \text{ м}^2$

б) равносторонний треугольник со стороной $2\sqrt{3}$ м.

Дано:

Основание - равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Найти:

$S_{полн}$

Решение:

1. Площадь основания ($S_{осн}$):

Основание - равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \text{ м}^2$.

2. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

Пусть вершина пирамиды $V$, а основание - равносторонний треугольник $ABC$. Пусть ребро $VA$ является высотой пирамиды, т.е. $VA = H = 4 \text{ м}$ и $VA \perp \text{плоскости } ABC$.

Грани, примыкающие к ребру $VA$:

Треугольник $VAB$: является прямоугольным, так как $VA \perp AB$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AB = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

$S_{VAB} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Треугольник $VAC$: является прямоугольным, так как $VA \perp AC$.

Катеты: $VA = 4 \text{ м}$, $AC = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

$S_{VAC} = \frac{1}{2} \cdot VA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Остальная боковая грань:

Треугольник $VBC$: Сторона основания $BC = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Длина ребра $VB = \sqrt{VA^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ м}$.

Длина ребра $VC = \sqrt{VA^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ м}$.

Треугольник $VBC$ является равнобедренным с боковыми сторонами $VB = VC = 2\sqrt{7} \text{ м}$ и основанием $BC = 2\sqrt{3} \text{ м}$.

Найдем высоту $VM$ треугольника $VBC$ к основанию $BC$. $M$ - середина $BC$, $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ м}$.

Из прямоугольного треугольника $VMB$ (по теореме Пифагора):

$VM^2 = VB^2 - BM^2 = (2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 28 - 3 = 25$.

$VM = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$.

$S_{VBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot VM = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 = 5\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Общая площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{VAB} + S_{VAC} + S_{VBC} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 13\sqrt{3} \text{ м}^2$.

3. Площадь полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 3\sqrt{3} + 13\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ м}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ м}^2$