Страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

61. Основание наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ – равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 20, AC = 32$. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$, а ортогональной проекцией вершины $B_1$ является точка пересечения медиан $\triangle ABC$ (рисунок 49). Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Рисунок 49

Дано

Наклонная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Основание $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник.

$AB = BC = 20$

$AC = 32$

Боковое ребро $BB_1$ наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Ортогональная проекция вершины $B_1$ на плоскость основания — точка $O$, точка пересечения медиан $\triangle ABC$.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$)

Решение

1. Найдем высоту $BH$ равнобедренного треугольника $ABC$, проведенную к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Точка $H$ является серединой $AC$.

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$ по теореме Пифагора:

$BH^2 = BC^2 - HC^2$

$BH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$.

$BH = \sqrt{144} = 12$.

2. Точка $O$ — точка пересечения медиан (центроид) $\triangle ABC$. Центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поскольку $BH$ — медиана, $O$ лежит на $BH$.

$BO = \frac{2}{3} BH = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$.

$OH = \frac{1}{3} BH = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$.

3. Вычислим высоту призмы и длину бокового ребра.

Ортогональная проекция вершины $B_1$ на плоскость основания — это точка $O$. Значит, $B_1O$ — высота призмы, и $B_1O \perp (ABC)$.

Угол между боковым ребром $BB_1$ и плоскостью основания равен $60^\circ$. Это угол $\angle B_1BO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1OB$ (прямой угол при $O$).

Длина бокового ребра $l = BB_1$.

$BO = l \cdot \cos(60^\circ) \implies l = \frac{BO}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{1/2} = 16$.

Высота призмы $h = B_1O = BO \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3}$.

4. Найдем площади боковых граней призмы. Боковые грани являются параллелограммами. Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Высоты боковых граней найдем, используя теорему о трех перпендикулярах. Поскольку $B_1O \perp (ABC)$, если $OK$ — перпендикуляр из $O$ к стороне основания $XY$, то $B_1K$ — перпендикуляр к $XY$ и является высотой соответствующей боковой грани.

Найдем расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$. Площадь $\triangle ABC = S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 12 = 192$.

Центроид делит треугольник на три треугольника равной площади:

$S_{OAC} = S_{OAB} = S_{OBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 192 = 64$.

a) Для грани $ACC_1A_1$ (основание $AC=32$):

Высота из $O$ на $AC$ — это $OH = 4$.

Высота параллелограмма $h_{AC} = B_1H$. В прямоугольном $\triangle B_1OH$:

$h_{AC}^2 = B_1O^2 + OH^2 = (8\sqrt{3})^2 + 4^2 = 64 \cdot 3 + 16 = 192 + 16 = 208$.

$h_{AC} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$.

Площадь грани $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h_{AC} = 32 \cdot 4\sqrt{13} = 128\sqrt{13}$.

б) Для грани $ABB_1A_1$ (основание $AB=20$):

Пусть $K$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AB$. $OK$ — расстояние от $O$ до $AB$.

$S_{OAB} = \frac{1}{2} AB \cdot OK \implies 64 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot OK \implies 64 = 10 \cdot OK \implies OK = 6.4$.

Высота параллелограмма $h_{AB} = B_1K$. В прямоугольном $\triangle B_1OK$:

$h_{AB}^2 = B_1O^2 + OK^2 = (8\sqrt{3})^2 + (6.4)^2 = 192 + 40.96 = 232.96$.

$h_{AB} = \sqrt{232.96} = \sqrt{\frac{23296}{100}} = \frac{\sqrt{256 \cdot 91}}{10} = \frac{16\sqrt{91}}{10} = 1.6\sqrt{91}$.

Площадь грани $S_{ABB_1A_1} = AB \cdot h_{AB} = 20 \cdot 1.6\sqrt{91} = 32\sqrt{91}$.

в) Для грани $BCC_1B_1$ (основание $BC=20$):

Пусть $M$ — основание перпендикуляра из $O$ на $BC$. $OM$ — расстояние от $O$ до $BC$.

$S_{OBC} = \frac{1}{2} BC \cdot OM \implies 64 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot OM \implies 64 = 10 \cdot OM \implies OM = 6.4$.

Высота параллелограмма $h_{BC} = B_1M$. В прямоугольном $\triangle B_1OM$:

$h_{BC}^2 = B_1O^2 + OM^2 = (8\sqrt{3})^2 + (6.4)^2 = 192 + 40.96 = 232.96$.

$h_{BC} = \sqrt{232.96} = 1.6\sqrt{91}$.

Площадь грани $S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h_{BC} = 20 \cdot 1.6\sqrt{91} = 32\sqrt{91}$.

5. Общая площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней.

$S_{бок} = S_{ACC_1A_1} + S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1}$

$S_{бок} = 128\sqrt{13} + 32\sqrt{91} + 32\sqrt{91} = 128\sqrt{13} + 64\sqrt{91}$.

$S_{бок} = 64(2\sqrt{13} + \sqrt{91})$.

Ответ:

$S_{бок} = 64(2\sqrt{13} + \sqrt{91})$

62. Гараж, сделанный из листового металла, имеет форму поверхности прямой пятиугольной призмы $ABMCDA_1B_1M_1C_1D_1$. Его основанием является боковая грань $AA_1D_1D$, $AB = AD = 3$ м, $DD_1 = 4$ м, $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$. Сколько листов металла размером $1 \times 2$ м израсходовано на изготовление гаража (без учета его основания), если на швы ушло $8\%$ от площади его поверхности?

Дано:
Гараж имеет форму прямой пятиугольной призмы $ABMCD A_1 B_1 M_1 C_1 D_1$.
Основанием гаража (полом) является боковая грань $AA_1 D_1 D$.
Размеры: $AB = AD = 3$ м, $DD_1 = 4$ м.
Углы в треугольнике $MBC$: $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$.
Размер листа металла: $1 \times 2$ м.
Расход на швы: 8% от площади поверхности.

Перевод в СИ:
Все данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы).

Найти:
Количество листов металла, израсходованных на изготовление гаража (без учета его основания).

Решение:
Призма $ABMCD A_1 B_1 M_1 C_1 D_1$ означает, что ее основаниями являются пятиугольники $ABMCD$ и $A_1 B_1 M_1 C_1 D_1$. Высота призмы (длина гаража) $H = DD_1 = 4$ м.
Боковые грани призмы (стены и крыша) - это прямоугольники: $AA_1B_1B$, $BB_1M_1M$, $MM_1C_1C$, $CC_1D_1D$, $DD_1A_1A$.
По условию, грань $AA_1D_1D$ является основанием гаража (полом) и не учитывается при расчете площади. Следовательно, для облицовки гаража требуется площадь двух пятиугольных оснований (передняя и задняя стенки) и четырех боковых граней (стены и крыша): $AA_1B_1B$, $BB_1M_1M$, $MM_1C_1C$, $CC_1D_1D$.

1. Определение размеров пятиугольного основания $ABMCD$:
Предположим, что пятиугольник $ABMCD$ имеет форму "дома": прямоугольник $ABCD$ с треугольником $MBC$ на вершине. Дано $AB=3$ м, $AD=3$ м. Для симметрии и реалистичности гаража, примем $CD=AB=3$ м, а углы $\angle DAB = \angle ADC = 90^\circ$.
Тогда нижняя часть $ABCD$ является квадратом со стороной 3 м. Длина $BC = AD = 3$ м.
В $\triangle MBC$, $\angle MBC = \angle MCB = 15^\circ$. Это равнобедренный треугольник, $MB = MC$.
Угол $\angle BMC = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$.
Высота $\triangle MBC$ (от $M$ до $BC$) $h_M$. Пусть $K$ - середина $BC$. Тогда $BK = KC = BC/2 = 3/2 = 1.5$ м.
В прямоугольном $\triangle MBK$:
$h_M = MK = BK \tan(15^\circ) = 1.5 \tan(15^\circ)$.
Воспользуемся формулой $\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
Таким образом, $MK = 1.5 (2-\sqrt{3})$ м.
Длина сторон $MB = MC = BK / \cos(15^\circ)$.
Воспользуемся формулой $\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Таким образом, $MB = MC = \frac{1.5}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{6}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$ м.

2. Расчет площади пятиугольного основания $S_{base}$:
Площадь пятиугольника $ABMCD$ состоит из площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $MBC$.
$S_{квадрата ABCD} = AD \times AB = 3 \times 3 = 9$ м$^2$.
$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \times BC \times MK = \frac{1}{2} \times 3 \times 1.5 (2-\sqrt{3}) = 2.25(2-\sqrt{3}) = (4.5 - 2.25\sqrt{3})$ м$^2$.
$S_{base} = S_{квадрата ABCD} + S_{\triangle MBC} = 9 + (4.5 - 2.25\sqrt{3}) = (13.5 - 2.25\sqrt{3})$ м$^2$.

3. Расчет площадей боковых граней:
Высота всех боковых граней призмы равна $H = DD_1 = 4$ м.
$S_{AA_1B_1B} = AB \times H = 3 \times 4 = 12$ м$^2$.
$S_{BB_1M_1M} = BM \times H = \frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} \times 4 = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ м$^2$.
$S_{MM_1C_1C} = MC \times H = 6(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ м$^2$.
$S_{CC_1D_1D} = CD \times H = 3 \times 4 = 12$ м$^2$.

4. Расчет общей площади поверхности гаража (без пола и без учета швов):
Общая площадь поверхности, которую необходимо покрыть металлом, $S_{гаража}$, включает две пятиугольные основы и четыре боковые грани:
$S_{гаража} = 2 \times S_{base} + S_{AA_1B_1B} + S_{BB_1M_1M} + S_{MM_1C_1C} + S_{CC_1D_1D}$.
$S_{гаража} = 2(13.5 - 2.25\sqrt{3}) + 12 + 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 6(\sqrt{6}-\sqrt{2}) + 12$.
$S_{гаража} = (27 - 4.5\sqrt{3}) + 24 + 12(\sqrt{6}-\sqrt{2})$.
$S_{гаража} = 51 - 4.5\sqrt{3} + 12(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ м$^2$.
Используем приближенные значения:
$\sqrt{3} \approx 1.73205081$
$\sqrt{6} \approx 2.44948974$
$\sqrt{2} \approx 1.41421356$
$S_{гаража} \approx 51 - 4.5(1.73205081) + 12(2.44948974 - 1.41421356)$.
$S_{гаража} \approx 51 - 7.794228645 + 12(1.03527618)$.
$S_{гаража} \approx 51 - 7.794228645 + 12.42331416 \approx 55.629085515$ м$^2$.

5. Расчет площади материала с учетом швов:
Пусть $S_{материала}$ - требуемая площадь металла. На швы уходит 8% от площади поверхности, значит, сама поверхность составляет $100\% - 8\% = 92\%$ от общего количества материала.
$S_{гаража} = S_{материала} \times (1 - 0.08) = S_{материала} \times 0.92$.
$S_{материала} = \frac{S_{гаража}}{0.92} = \frac{55.629085515}{0.92} \approx 60.4663973$ м$^2$.

6. Расчет количества листов:
Площадь одного листа металла $S_{листа} = 1 \times 2 = 2$ м$^2$.
Количество листов $N = \frac{S_{материала}}{S_{листа}} = \frac{60.4663973}{2} \approx 30.23319865$.
Поскольку нельзя использовать части листов, необходимо округлить полученное количество в большую сторону.

Ответ: 31