Страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется площадью полной поверхности призмы и площадью боковой поверхности призмы?

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности:
а) прямой призмы;
б) наклонной призмы.

1. Что называется площадью полной поверхности призмы и площадью боковой поверхности призмы?

Площадью боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) называется сумма площадей всех её боковых граней (параллелограммов или прямоугольников, соединяющих основания).

Площадью полной поверхности призмы ($S_{полн}$) называется сумма площади её боковой поверхности и площадей двух её оснований. Формула для вычисления площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь одного основания призмы.

Ответ: Площадь боковой поверхности — это сумма площадей боковых граней. Площадь полной поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$).

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности: а) прямой призмы; б) наклонной призмы.

а) прямой призмы

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на высоту призмы.

Доказательство: Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Основаниями этих прямоугольников служат стороны основания призмы, а их высоты равны высоте призмы $h$ (которая также равна длине бокового ребра).

Пусть в основании призмы лежит n-угольник со сторонами $a_1, a_2, \dots, a_n$. Тогда периметр основания равен $P_{осн} = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Площадь каждой боковой грани соответственно равна $S_1 = a_1h$, $S_2 = a_2h$, ..., $S_n = a_nh$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих прямоугольников: $S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = a_1h + a_2h + \dots + a_nh$.

Вынесем общий множитель $h$ за скобки: $S_{бок} = (a_1 + a_2 + \dots + a_n)h$.

Так как выражение в скобках является периметром основания $P_{осн}$, получаем формулу: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Теорема доказана.

Ответ: Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

б) наклонной призмы

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Доказательство: Боковые грани наклонной призмы — параллелограммы. Все боковые рёбра призмы равны между собой, обозначим их длину как $l$.

Проведём перпендикулярное сечение призмы, то есть сечение плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В сечении получится многоугольник. Пусть стороны этого многоугольника равны $p_1, p_2, \dots, p_n$.

Стороны перпендикулярного сечения $p_1, p_2, \dots, p_n$ по построению являются высотами соответствующих боковых граней-параллелограммов, проведёнными к стороне, равной боковому ребру $l$.

Площадь каждой боковой грани (параллелограмма) соответственно равна $S_1 = p_1l$, $S_2 = p_2l$, ..., $S_n = p_nl$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих параллелограммов: $S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = p_1l + p_2l + \dots + p_nl$.

Вынесем общий множитель $l$ за скобки: $S_{бок} = (p_1 + p_2 + \dots + p_n)l$.

Выражение в скобках является периметром перпендикулярного сечения $P_{\perp} = p_1 + p_2 + \dots + p_n$. Следовательно, получаем формулу: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$. Теорема доказана.

Ответ: Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.

48. Длина, ширина и высота складского помещения соответственно равны 8 м, 6 м, 3 м. Найдите площадь:
а) пола;
б) всех его стен.

Дано:

Длина (L) = 8 м

Ширина (W) = 6 м

Высота (H) = 3 м

Данные уже приведены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

а) Площадь пола (S_пол)

б) Площадь всех его стен (S_стен)

Решение:

Складское помещение имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

а) пола

Площадь пола прямоугольного помещения определяется как произведение его длины на ширину.

Формула для площади пола (S_пол):

$S_{пол} = L \times W$

Подставляем значения:

$S_{пол} = 8 \text{ м} \times 6 \text{ м} = 48 \text{ м}^2$

Ответ: 48 м²

б) всех его стен

Площадь всех стен (боковой поверхности) прямоугольного параллелепипеда можно найти как произведение периметра основания на высоту.

Периметр основания (P_осн):

$P_{осн} = 2 \times (L + W)$

Площадь всех стен (S_стен):

$S_{стен} = P_{осн} \times H = 2 \times (L + W) \times H$

Подставляем значения:

$S_{стен} = 2 \times (8 \text{ м} + 6 \text{ м}) \times 3 \text{ м}$

$S_{стен} = 2 \times 14 \text{ м} \times 3 \text{ м}$

$S_{стен} = 28 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 84 \text{ м}^2$

Ответ: 84 м²

49. На рисунке 46 изображена развертка поверх-ности правильной треугольной призмы. Используя данные рисунка, найдите площадь полной по-верхности этой призмы.

4

$30^\circ$

Рисунок 46

Дано:

Развертка правильной треугольной призмы. На развертке изображен прямоугольный треугольник, образованный стороной основания призмы, высотой призмы и диагональю боковой грани. Длина диагонали боковой грани равна $4$. Угол между диагональю боковой грани и стороной основания равен $30^\circ$.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$).

Решение:

Пусть $a$ – длина стороны основания правильной треугольной призмы (сторона равностороннего треугольника), а $H$ – высота призмы.

Из развертки видно, что боковая грань призмы представляет собой прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника равна $4$, и она образует угол $30^\circ$ со стороной основания ($a$).

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном стороной основания $a$, высотой призмы $H$ и диагональю боковой грани $d=4$:

Сторона основания $a$ является прилежащим катетом к углу $30^\circ$, а высота $H$ – противолежащим катетом.

$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$H = d \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Теперь найдем площадь основания призмы ($S_{осн}$). Так как призма правильная, ее основанием является равносторонний треугольник со стороной $a = 2\sqrt{3}$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) состоит из трех одинаковых прямоугольников (боковых граней). Площадь одной боковой грани $S_{грани} = a \cdot H$.

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot a \cdot H = 3 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 2 = 12\sqrt{3}$

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

$S_{полн} = 2 \cdot (3\sqrt{3}) + 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

Ответ:

Площадь полной поверхности призмы составляет $18\sqrt{3}$ квадратных единиц.

50. Найдите сторону основания и высоту правильной четырехугольной призмы, если площадь ее полной поверхности равна $40\text{ дм}^2$, а площадь боковой поверхности на $8\text{ дм}^2$ меньше.

$S_{полн} = 40 \text{ дм}^2$

$S_{бок} = S_{полн} - 8 \text{ дм}^2$

$S_{полн} = 40 \text{ дм}^2 = 40 \times (0.1 \text{ м})^2 = 0.4 \text{ м}^2$

$S_{бок} = (40 - 8) \text{ дм}^2 = 32 \text{ дм}^2 = 32 \times (0.1 \text{ м})^2 = 0.32 \text{ м}^2$

$a$ - сторону основания

$h$ - высоту призмы

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) правильной четырехугольной призмы равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($2S_{осн}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{бок} = S_{полн} - 8 \text{ дм}^2 = 40 \text{ дм}^2 - 8 \text{ дм}^2 = 32 \text{ дм}^2$. В системе СИ: $S_{бок} = 0.4 \text{ м}^2 - 0.08 \text{ м}^2 = 0.32 \text{ м}^2$.

Теперь, используя формулу для полной поверхности, выразим удвоенную площадь основания: $2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$ $2S_{осн} = 0.4 \text{ м}^2 - 0.32 \text{ м}^2$ $2S_{осн} = 0.08 \text{ м}^2$.

Отсюда, площадь одного основания: $S_{осн} = \frac{0.08 \text{ м}^2}{2} = 0.04 \text{ м}^2$.

Поскольку призма правильная четырехугольная, ее основание является квадратом. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется как $a^2$. $a^2 = S_{осн}$ $a^2 = 0.04 \text{ м}^2$.

Площадь боковой поверхности призмы также равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Периметр квадратного основания со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.

Из $a^2 = 0.04 \text{ м}^2$ находим сторону основания $a$: $a = \sqrt{0.04 \text{ м}^2} = 0.2 \text{ м}$. Переведем в дециметры: $a = 0.2 \text{ м} \times 10 \text{ дм/м} = 2 \text{ дм}$.

Ответ: $2 \text{ дм}$ высоту

Теперь найдем периметр основания: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 0.2 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$. Используя формулу для $S_{бок}$, найдем высоту $h$: $h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{0.32 \text{ м}^2}{0.8 \text{ м}} = 0.4 \text{ м}$. Переведем в дециметры: $h = 0.4 \text{ м} \times 10 \text{ дм/м} = 4 \text{ дм}$.

Ответ: $4 \text{ дм}$

51. Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда, если стороны его основания равны:

а) 6 дм и 8 дм, а угол между ними равен $30^\circ$, а боковое ребро параллелепипеда равно 5 дм;

б) 8 м и 15 м, угол между ними равен $60^\circ$, а меньшая из площадей его диагональных сечений равна $65 \text{ м}^2$.

a)

Дано

Стороны основания прямого параллелепипеда: $a = 6$ дм, $b = 8$ дм.

Угол между сторонами основания: $\alpha = 30^\circ$.

Боковое ребро (высота): $h = 5$ дм.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$b = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$h = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

Найти

Площадь поверхности $S$.

Решение

Площадь поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания $S_{осн}$:

Основание является параллелограммом, поэтому его площадь $S_{осн}$ равна произведению длин сторон на синус угла между ними:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

$S_{осн} = 0.6 \text{ м} \cdot 0.8 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ)$

$S_{осн} = 0.48 \text{ м}^2 \cdot 0.5$

$S_{осн} = 0.24 \text{ м}^2$

2. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$P_{осн} = 2(a+b)$

$P_{осн} = 2(0.6 \text{ м} + 0.8 \text{ м}) = 2(1.4 \text{ м}) = 2.8 \text{ м}$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 2.8 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м}$

$S_{бок} = 1.4 \text{ м}^2$

3. Полная площадь поверхности $S$:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

$S = 2 \cdot 0.24 \text{ м}^2 + 1.4 \text{ м}^2$

$S = 0.48 \text{ м}^2 + 1.4 \text{ м}^2$

$S = 1.88 \text{ м}^2$

Ответ: $1.88 \text{ м}^2$

б)

Дано

Стороны основания прямого параллелепипеда: $a = 8$ м, $b = 15$ м.

Угол между сторонами основания: $\alpha = 60^\circ$.

Меньшая из площадей диагональных сечений: $S_{диг, мин} = 65 \text{ м}^2$.

Перевод в СИ:

Все данные уже в СИ.

Найти

Площадь поверхности $S$.

Решение

Для нахождения площади поверхности нам необходимо знать высоту (боковое ребро) параллелепипеда $h$. Высоту можно найти из площади меньшего диагонального сечения.

1. Найдем длины диагоналей основания $d_1$ и $d_2$. Основание - параллелограмм. Длины диагоналей параллелограмма можно найти по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, второе уравнение можно переписать как:

$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Подставим значения: $a = 8 \text{ м}$, $b = 15 \text{ м}$, $\alpha = 60^\circ$. $\cos(60^\circ) = 0.5$.

$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$

$d_1^2 = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 0.5$

$d_1^2 = 289 - 120 = 169 \text{ м}^2$

$d_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ м}$

$d_2^2 = 8^2 + 15^2 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$

$d_2^2 = 64 + 225 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 0.5$

$d_2^2 = 289 + 120 = 409 \text{ м}^2$

$d_2 = \sqrt{409} \text{ м}$

Меньшая диагональ основания - это $d_1 = 13 \text{ м}$.

2. Найдем высоту $h$ (боковое ребро) параллелепипеда.

Диагональное сечение прямого параллелепипеда является прямоугольником. Площадь меньшего диагонального сечения $S_{диг, мин}$ равна произведению меньшей диагонали основания на высоту $h$:

$S_{диг, мин} = d_1 \cdot h$

$65 \text{ м}^2 = 13 \text{ м} \cdot h$

$h = \frac{65}{13} = 5 \text{ м}$

3. Найдем полную площадь поверхности $S$:

Формула та же: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

$S_{осн} = 8 \text{ м} \cdot 15 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ)$

$S_{осн} = 120 \text{ м}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{осн} = 60\sqrt{3} \text{ м}^2$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$P_{осн} = 2(a+b)$

$P_{осн} = 2(8 \text{ м} + 15 \text{ м}) = 2(23 \text{ м}) = 46 \text{ м}$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 46 \text{ м} \cdot 5 \text{ м}$

$S_{бок} = 230 \text{ м}^2$

Полная площадь поверхности $S$:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

$S = 2 \cdot 60\sqrt{3} \text{ м}^2 + 230 \text{ м}^2$

$S = (120\sqrt{3} + 230) \text{ м}^2$

Ответ: $(120\sqrt{3} + 230) \text{ м}^2$

52. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны:

а) 5 дм, 5 дм и 8 дм, а ее высота равна меньшей высоте основания;

б) 21 см, 17 см, 10 см, а диагональ меньшей боковой грани равна 26 см.

а)

Дано:

Стороны основания треугольной призмы: $a = 5$ дм, $b = 5$ дм, $c = 8$ дм.

Высота призмы $H$ равна меньшей высоте основания.

Перевод в СИ:

$a = 0.5$ м, $b = 0.5$ м, $c = 0.8$ м.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ - площадь основания, $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $H$ - высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание - равнобедренный треугольник со сторонами 5 дм, 5 дм, 8 дм.

Высота $h_c$ к стороне $c = 8$ дм делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника со сторонами 4 дм, $h_c$, 5 дм. По теореме Пифагора:

$h_c = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ дм.

Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ дм$^2$.

2. Найдем высоты основания, чтобы определить наименьшую. Мы уже нашли $h_c = 3$ дм (высота к стороне 8 дм).

Найдем высоту $h_a$ к стороне $a = 5$ дм (или $h_b$ к стороне $b = 5$ дм) по формуле площади:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \implies 12 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_a \implies h_a = \frac{24}{5} = 4.8$ дм.

Высоты основания: 3 дм, 4.8 дм, 4.8 дм. Наименьшая высота равна 3 дм.

Следовательно, высота призмы $H = 3$ дм.

3. Найдем периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 5 + 5 + 8 = 18$ дм.

4. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 18 \cdot 3 = 54$ дм$^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 54 = 24 + 54 = 78$ дм$^2$.

Ответ: 78 дм$^2$.

б)

Дано:

Стороны основания треугольной призмы: $a = 21$ см, $b = 17$ см, $c = 10$ см.

Диагональ меньшей боковой грани $d = 26$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.21$ м, $b = 0.17$ м, $c = 0.10$ м.

$d = 0.26$ м.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $H$ - высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$ с помощью формулы Герона.

Полупериметр основания $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21+17+10}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Площадь основания: $S_{осн} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)}$

$S_{осн} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot 3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

2. Найдем периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 21 + 17 + 10 = 48$ см.

3. Найдем высоту призмы $H$. Меньшая боковая грань имеет в основании наименьшую сторону треугольника. Из сторон 21 см, 17 см, 10 см наименьшая сторона равна 10 см.

Эта боковая грань является прямоугольником со сторонами 10 см и $H$. Диагональ этой грани равна 26 см.

По теореме Пифагора:

$10^2 + H^2 = 26^2$

$100 + H^2 = 676$

$H^2 = 676 - 100 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

4. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 48 \cdot 24 = 1152$ см$^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 84 + 1152 = 168 + 1152 = 1320$ см$^2$.

Ответ: 1320 см$^2$.