Вопросы?, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется площадью полной поверхности призмы и площадью боковой поверхности призмы?

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности:
а) прямой призмы;
б) наклонной призмы.

1. Что называется площадью полной поверхности призмы и площадью боковой поверхности призмы?

Площадью боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) называется сумма площадей всех её боковых граней (параллелограммов или прямоугольников, соединяющих основания).

Площадью полной поверхности призмы ($S_{полн}$) называется сумма площади её боковой поверхности и площадей двух её оснований. Формула для вычисления площади полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь одного основания призмы.

Ответ: Площадь боковой поверхности — это сумма площадей боковых граней. Площадь полной поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$).

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности: а) прямой призмы; б) наклонной призмы.

а) прямой призмы

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на высоту призмы.

Доказательство: Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Основаниями этих прямоугольников служат стороны основания призмы, а их высоты равны высоте призмы $h$ (которая также равна длине бокового ребра).

Пусть в основании призмы лежит n-угольник со сторонами $a_1, a_2, \dots, a_n$. Тогда периметр основания равен $P_{осн} = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Площадь каждой боковой грани соответственно равна $S_1 = a_1h$, $S_2 = a_2h$, ..., $S_n = a_nh$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих прямоугольников: $S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = a_1h + a_2h + \dots + a_nh$.

Вынесем общий множитель $h$ за скобки: $S_{бок} = (a_1 + a_2 + \dots + a_n)h$.

Так как выражение в скобках является периметром основания $P_{осн}$, получаем формулу: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Теорема доказана.

Ответ: Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

б) наклонной призмы

Теорема: Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Доказательство: Боковые грани наклонной призмы — параллелограммы. Все боковые рёбра призмы равны между собой, обозначим их длину как $l$.

Проведём перпендикулярное сечение призмы, то есть сечение плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В сечении получится многоугольник. Пусть стороны этого многоугольника равны $p_1, p_2, \dots, p_n$.

Стороны перпендикулярного сечения $p_1, p_2, \dots, p_n$ по построению являются высотами соответствующих боковых граней-параллелограммов, проведёнными к стороне, равной боковому ребру $l$.

Площадь каждой боковой грани (параллелограмма) соответственно равна $S_1 = p_1l$, $S_2 = p_2l$, ..., $S_n = p_nl$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей этих параллелограммов: $S_{бок} = S_1 + S_2 + \dots + S_n = p_1l + p_2l + \dots + p_nl$.

Вынесем общий множитель $l$ за скобки: $S_{бок} = (p_1 + p_2 + \dots + p_n)l$.

Выражение в скобках является периметром перпендикулярного сечения $P_{\perp} = p_1 + p_2 + \dots + p_n$. Следовательно, получаем формулу: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$. Теорема доказана.

Ответ: Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $l$ — длина бокового ребра.