Номер 41, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

41. Изготовьте модель невыпуклого многогранника, который получится, если:

а) к каждой грани тетраэдра приклеить равный ему тетраэдр;

б) к каждой грани куба приклеить равный ему куб;

в) к каждой грани куба приклеить четырехугольную пирамиду, основание которой равно грани куба.

a) к каждой грани тетраэдра приклеить равный ему тетраэдр

Исходный тетраэдр имеет 4 грани. К каждой из этих граней приклеивается по одному равному ему тетраэдру. В результате этого процесса центральный тетраэдр становится "сердцевиной" новой фигуры. Четыре приклеенных тетраэдра выступают наружу от каждой из бывших граней центрального тетраэдра. Формируется фигура, напоминающая звезду или "шипастый" тетраэдр. Такая фигура будет невыпуклой, так как между выступающими частями (новыми тетраэдрами) образуются впадины или "внутренние" углы (углы между соседними внешними гранями, превышающие $180^\circ$ при измерении изнутри). Например, если провести отрезок между точками, расположенными на внешних поверхностях двух соседних приклеенных тетраэдров, этот отрезок может проходить вне тела полученного многогранника в области, где ранее находились ребра центрального тетраэдра, что свидетельствует о невыпуклости.

Ответ: полученный многогранник будет невыпуклым.

б) к каждой грани куба приклеить равный ему куб

Исходный куб имеет 6 граней. К каждой из этих граней приклеивается по одному равному ему кубу. Центральный куб становится внутренним элементом новой конструкции. Шесть приклеенных кубов выступают наружу. В результате получается сложная фигура, состоящая из семи кубов. Эта фигура является ярким примером невыпуклого многогранника. Между приклеенными кубами, вдоль ребер и у вершин центрального куба, образуются значительные впадины. Например, если рассмотреть любую вершину центрального куба, к ней примыкают три грани, и на каждой из них приклеен свой куб. Пространство между этими тремя выступающими кубами будет представлять собой "вогнутую" область. Любой отрезок, соединяющий точки, расположенные на внешних поверхностях двух соседних приклеенных кубов (например, на их внешних вершинах, не являющихся частью приклейки), в большинстве случаев будет проходить через пустое пространство, а не через тело многогранника, что является определением невыпуклости.

Ответ: полученный многогранник будет невыпуклым.

в) к каждой грани куба приклеить четырехугольную пирамиду, основание которой равно грани куба.

Исходный куб имеет 6 граней. К каждой грани приклеивается четырехугольная (квадратная) пирамида, основание которой точно соответствует грани куба. Этот процесс приводит к формированию многогранника с шестью "шипами" (пирамидами), исходящими из каждой грани куба. Центральный куб становится его внутренней частью. Подобно предыдущим случаям, такой многогранник будет невыпуклым. Впадины образуются вдоль ребер и вокруг вершин исходного куба, между основаниями приклеенных пирамид. Например, если взять две соседние пирамиды, приклеенные к смежным граням куба, то между их боковыми гранями, расположенными над общим ребром куба, будет формироваться вогнутая область. Отрезок, соединяющий вершины двух соседних пирамид, будет проходить вне тела многогранника в области над ребром куба, что указывает на невыпуклость.

Ответ: полученный многогранник будет невыпуклым.