Номер 40, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

40. Изобразите многогранник, который получится, если от куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$ отрезать пирамиду $A_1AB_1D_1$. Верно ли, что у этого многогранника столько вершин, сколько и граней?

Для решения задачи, представим исходный куб и проанализируем изменения в количестве его вершин, граней и рёбер после удаления указанной пирамиды.

Изобразите многогранник, который получится, если от куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отрезать пирамиду $A_1ABD_1$.

Представим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ - нижняя грань, а $A_1B_1C_1D_1$ - верхняя грань, при этом $A_1$ находится над $A$, $B_1$ над $B$ и так далее.

Пирамида, которую отрезают, это тетраэдр $A_1ABD_1$. Его вершинами являются четыре вершины куба: $A_1$ (верхняя передняя левая), $A$ (нижняя передняя левая), $B$ (нижняя передняя правая) и $D_1$ (верхняя задняя левая).

Получившийся многогранник будет представлять собой исходный куб, из которого удален объем этого тетраэдра $A_1ABD_1$.

Визуально это можно представить так:

• Край $AA_1$ и $AB$ являются ребрами как куба, так и удаляемой пирамиды.
• Грани пирамиды: $\triangle A_1AB$, $\triangle A_1AD_1$, $\triangle ABD_1$, $\triangle A_1BD_1$.
• Грани $\triangle A_1AB$ и $\triangle A_1AD_1$ лежат на существующих гранях куба ($ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно). Эти части поверхности будут удалены, а исходные грани станут иметь другую форму.
• Грани $\triangle ABD_1$ и $\triangle A_1BD_1$ являются "новыми" гранями, которые образуются в результате среза внутри куба. Они представляют собой плоские срезы, образованные соединением соответствующих вершин.

В результате, многогранник будет выглядеть как куб, у которого "скошен" один из углов, но этот скос не является простым угловым срезом, поскольку он соединяет вершины из разных плоскостей куба ($A, B$ с нижней грани, $A_1, D_1$ с верхней грани).

Ответ: Многогранник будет представлять собой куб, из которого удален объем тетраэдра $A_1ABD_1$. Формально его можно описать как восьмивершинный многогранник с измененными поверхностями.

Верно ли, что у этого многогранника столько вершин, сколько и граней?

Для ответа на этот вопрос посчитаем количество вершин ($V$) и граней ($F$) у нового многогранника.

Количество вершин ($V$):

Исходный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет 8 вершин. Вершины удаляемой пирамиды ($A_1, A, B, D_1$) являются вершинами исходного куба. Когда объем пирамиды удаляется, эти вершины не исчезают, а остаются частью границы нового многогранника. Новые вершины в результате такого среза не образуются, так как плоскости среза проходят через существующие вершины куба.

Таким образом, количество вершин у получившегося многогранника останется таким же, как у исходного куба.

$V = 8$

Количество граней ($F$):

Исходный куб имеет 6 граней:

• Нижняя грань ($ABCD$)
• Верхняя грань ($A_1B_1C_1D_1$)
• Четыре боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $DAA_1D_1$)

Рассмотрим, как изменится количество граней после удаления пирамиды $A_1ABD_1$:

• Две грани куба останутся неизменными: правая грань ($BCC_1B_1$) и задняя грань ($CDD_1C_1$). (2 грани)
• Грани куба, которые будут изменены (их площадь уменьшится, но они останутся едиными гранями):
  • Передняя грань ($ABB_1A_1$): из нее будет удален треугольник $\triangle A_1AB$. Оставшаяся часть станет новой гранью (четырехугольником $A_1B_1BA$). (1 грань)
  • Левая грань ($DAA_1D_1$): из нее будет удален треугольник $\triangle A_1AD_1$. Оставшаяся часть станет новой гранью (четырехугольником $A_1D_1DA$). (1 грань)
  • Нижняя грань ($ABCD$): плоскость $\triangle ABD_1$ проходит через нее, образуя новый срез. Однако сама грань $ABCD$ по-прежнему является частью поверхности многогранника. (1 грань)
  • Верхняя грань ($A_1B_1C_1D_1$): плоскость $\triangle A_1BD_1$ проходит через нее, образуя новый срез. Сама грань $A_1B_1C_1D_1$ по-прежнему является частью поверхности многогранника. (1 грань)
• Две новые грани будут образованы в результате среза:
  • Треугольная грань $\triangle ABD_1$. (1 грань)
  • Треугольная грань $\triangle A_1BD_1$. (1 грань)

Таким образом, общее количество граней у получившегося многогранника будет $F = 2 (\text{неизменных}) + 4 (\text{измененных}) + 2 (\text{новых}) = 8$.

$F = 8$

Сравним количество вершин и граней: $V = 8$ и $F = 8$.

Ответ: Да, верно.