Номер 46, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

46. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 дм, а ее высота $\sqrt{3}$ дм. Какую наименьшую площадь может иметь сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону одного основания и имеющей хотя бы одну общую точку с другим основанием?

Дано:

правильная треугольная призма

сторона основания $a = 2 \text{ дм}$

высота призмы $h = \sqrt{3} \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$a = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$h = \sqrt{3} \text{ дм} = \sqrt{3} \cdot 0.1 \text{ м}$

Найти:

наименьшая площадь сечения $S_{min}$

Решение:

Пусть нижнее основание призмы - правильный треугольник ABC, а верхнее основание - A'B'C'. Боковые ребра AA', BB', CC' перпендикулярны плоскостям оснований и равны высоте призмы $h = \sqrt{3} \text{ дм}$. Сторона основания $a = 2 \text{ дм}$.

Сечение проходит через одну сторону одного основания, например, через сторону AB нижнего основания. Сечение должно иметь хотя бы одну общую точку с другим основанием (верхним).

Возможные виды сечений, проходящих через сторону AB и имеющих общие точки с верхним основанием, это прямоугольник (боковая грань) или треугольник.

1. Если плоскость сечения проходит через сторону AB и параллельна боковому ребру (например, перпендикулярна плоскостям оснований), то сечение является прямоугольником. В данном случае, если плоскость содержит сторону AB и проходит через ребро A'B', то сечение - это боковая грань ABA'B'.

Площадь боковой грани: $S_{боковой\ грани} = AB \cdot AA' = a \cdot h = 2 \text{ дм} \cdot \sqrt{3} \text{ дм} = 2\sqrt{3} \text{ дм}^2$.

2. Если плоскость сечения проходит через сторону AB и одну из вершин верхнего основания, то сечение является треугольником. Чтобы площадь сечения была наименьшей, высота этого треугольника должна быть наименьшей. Рассмотривая вершины A', B', C' верхнего основания, вершина C' является "наиболее удаленной" от стороны AB в плоскости основания, если смотреть на проекцию, но именно это положение даст наименьшую высоту для треугольного сечения, так как оно максимально "наклонено".

Рассмотрим сечение - треугольник ABC'. Основание этого треугольника - сторона AB, длина которой $a = 2 \text{ дм}$.

Для нахождения высоты треугольника ABC', опустим перпендикуляр из вершины C' на прямую AB. Пусть M - середина стороны AB. В правильном треугольнике ABC, медиана CM является также высотой, то есть $CM \perp AB$.

Длина $CM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ дм}$.

Поскольку призма правильная, ребро CC' перпендикулярно плоскости основания ABC. То есть $CC' \perp CM$ и $CC' \perp AB$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $CM \perp AB$ (проекция $C'M$ на плоскость основания) и $CC' \perp CM$, то $C'M \perp AB$. Следовательно, отрезок $C'M$ является высотой треугольника ABC' к основанию AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CC'M. Его катеты: $CC' = h = \sqrt{3} \text{ дм}$ и $CM = \sqrt{3} \text{ дм}$.

Гипотенуза $C'M = \sqrt{CC'^2 + CM^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6} \text{ дм}$.

Площадь треугольника ABC': $S_{ABC'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C'M = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ дм} \cdot \sqrt{6} \text{ дм} = \sqrt{6} \text{ дм}^2$.

Сравним площади двух возможных сечений:

$S_{боковой\ грани} = 2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464 \text{ дм}^2$

$S_{ABC'} = \sqrt{6} \approx 2.449 \text{ дм}^2$

Наименьшая из этих площадей - $S_{ABC'} = \sqrt{6} \text{ дм}^2$. Любое трапециевидное сечение, проходящее через AB и пересекающее верхнее основание, будет иметь высоту, большую или равную $C'M$, и, следовательно, большую или равную площадь. Таким образом, наименьшая площадь сечения достигается при образовании треугольника ABC'.

Ответ:

$\sqrt{6} \text{ дм}^2$