Номер 52, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

52. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны:

а) 5 дм, 5 дм и 8 дм, а ее высота равна меньшей высоте основания;

б) 21 см, 17 см, 10 см, а диагональ меньшей боковой грани равна 26 см.

а)

Дано:

Стороны основания треугольной призмы: $a = 5$ дм, $b = 5$ дм, $c = 8$ дм.

Высота призмы $H$ равна меньшей высоте основания.

Перевод в СИ:

$a = 0.5$ м, $b = 0.5$ м, $c = 0.8$ м.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ - площадь основания, $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $H$ - высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$. Основание - равнобедренный треугольник со сторонами 5 дм, 5 дм, 8 дм.

Высота $h_c$ к стороне $c = 8$ дм делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника со сторонами 4 дм, $h_c$, 5 дм. По теореме Пифагора:

$h_c = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ дм.

Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$ дм$^2$.

2. Найдем высоты основания, чтобы определить наименьшую. Мы уже нашли $h_c = 3$ дм (высота к стороне 8 дм).

Найдем высоту $h_a$ к стороне $a = 5$ дм (или $h_b$ к стороне $b = 5$ дм) по формуле площади:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \implies 12 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_a \implies h_a = \frac{24}{5} = 4.8$ дм.

Высоты основания: 3 дм, 4.8 дм, 4.8 дм. Наименьшая высота равна 3 дм.

Следовательно, высота призмы $H = 3$ дм.

3. Найдем периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 5 + 5 + 8 = 18$ дм.

4. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 18 \cdot 3 = 54$ дм$^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 + 54 = 24 + 54 = 78$ дм$^2$.

Ответ: 78 дм$^2$.

б)

Дано:

Стороны основания треугольной призмы: $a = 21$ см, $b = 17$ см, $c = 10$ см.

Диагональ меньшей боковой грани $d = 26$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.21$ м, $b = 0.17$ м, $c = 0.10$ м.

$d = 0.26$ м.

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ - периметр основания, $H$ - высота призмы.

1. Найдем площадь основания $S_{осн}$ с помощью формулы Герона.

Полупериметр основания $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21+17+10}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Площадь основания: $S_{осн} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)}$

$S_{осн} = \sqrt{24 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 14} = \sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot 3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см$^2$.

2. Найдем периметр основания $P_{осн}$:

$P_{осн} = 21 + 17 + 10 = 48$ см.

3. Найдем высоту призмы $H$. Меньшая боковая грань имеет в основании наименьшую сторону треугольника. Из сторон 21 см, 17 см, 10 см наименьшая сторона равна 10 см.

Эта боковая грань является прямоугольником со сторонами 10 см и $H$. Диагональ этой грани равна 26 см.

По теореме Пифагора:

$10^2 + H^2 = 26^2$

$100 + H^2 = 676$

$H^2 = 676 - 100 = 576$

$H = \sqrt{576} = 24$ см.

4. Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 48 \cdot 24 = 1152$ см$^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 84 + 1152 = 168 + 1152 = 1320$ см$^2$.

Ответ: 1320 см$^2$.