Номер 59, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

2. Площадь поверхности призмы. I. Многогранники - номер 59, страница 28.

Условие.

59. Основание наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – квадрат со стороной 4 см, высота призмы равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее высотой является отрезок:

а) $D_1O$, где $O$ – точка пересечения диагоналей основания (рисунок 48, а);

б) $D_1M$, где $M$ – середина ребра $AD$ (рисунок 48, б).

а)

б)

Рисунок 48

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Основание призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — квадрат со стороной $a = 4$ см.

Высота призмы $h = 2\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$h = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 0.0346 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{total}$ для двух случаев.

Решение

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: $S_{total} = 2S_{base} + S_{lateral}$.

Площадь основания $S_{base}$ является площадью квадрата со стороной $a = 4$ см:

$S_{base} = a^2 = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.

а) $D_1O$, где $O$ – точка пересечения диагоналей основания (рисунок 48, а)

В данном случае, высота призмы $h = D_1O = 2\sqrt{3}$ см, и $D_1O$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Длина отрезка $DO$ равна половине диагонали квадрата.

Длина диагонали квадрата $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, $DO = \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle D_1OD$. Катеты $D_1O$ и $DO$, гипотенуза $DD_1$ является длиной бокового ребра призмы $L$.

По теореме Пифагора:

$L^2 = DD_1^2 = D_1O^2 + DO^2$

$L^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 3) + (4 \cdot 2) = 12 + 8 = 20$

$L = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Боковая поверхность призмы состоит из четырех параллелограммов. Для вычисления их площадей используем формулу площади параллелограмма $A = side_1 \cdot side_2 \cdot \sin(\theta)$.

Введем систему координат: пусть $D = (0,0,0)$, $A = (4,0,0)$, $C = (0,4,0)$. Тогда $O = (2,2,0)$.

Так как $D_1O$ — высота, то $D_1 = (2,2,2\sqrt{3})$.

Вектор бокового ребра $\vec{DD_1} = (2,2,2\sqrt{3})$. Длина $|\vec{DD_1}| = \sqrt{2^2+2^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+4+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

1. Площадь грани $ADD_1A_1$ (параллелограмм со сторонами $AD=4$ и $DD_1=2\sqrt{5}$):

Вектор $\vec{DA} = (4,0,0)$.

$\cos(\angle ADD_1) = \frac{\vec{DA} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{DA}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin(\angle ADD_1) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$S_{ADD_1A_1} = AD \cdot DD_1 \cdot \sin(\angle ADD_1) = 4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 16 \text{ см}^2$.

2. Площадь грани $DCC_1D_1$ (параллелограмм со сторонами $DC=4$ и $DD_1=2\sqrt{5}$):

Вектор $\vec{DC} = (0,4,0)$.

$\cos(\angle CDC_1) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{0 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin(\angle CDC_1) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$S_{DCC_1D_1} = DC \cdot DD_1 \cdot \sin(\angle CDC_1) = 4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 16 \text{ см}^2$.

Из-за симметрии призмы относительно центра основания, площади всех четырех боковых граней равны.

$S_{lateral} = 4 \cdot S_{ADD_1A_1} = 4 \cdot 16 = 64 \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности:

$S_{total,a} = 2S_{base} + S_{lateral} = 2 \cdot 16 + 64 = 32 + 64 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$

б) $D_1M$, где $M$ – середина ребра $AD$ (рисунок 48, б)

В данном случае, высота призмы $h = D_1M = 2\sqrt{3}$ см, и $D_1M$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Точка $M$ — середина ребра $AD$. Длина отрезка $MD$ равна половине стороны квадрата $a/2 = 4/2 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle D_1MD$. Катеты $D_1M$ и $MD$, гипотенуза $DD_1$ является длиной бокового ребра призмы $L$.

По теореме Пифагора:

$L^2 = DD_1^2 = D_1M^2 + MD^2$

$L^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = (4 \cdot 3) + 4 = 12 + 4 = 16$

$L = \sqrt{16} = 4$ см.

Введем систему координат: пусть $D = (0,0,0)$, $A = (4,0,0)$, $C = (0,4,0)$. Тогда $M = (2,0,0)$.

Так как $D_1M$ — высота, то $D_1 = (2,0,2\sqrt{3})$.

Вектор бокового ребра $\vec{DD_1} = (2,0,2\sqrt{3})$. Длина $|\vec{DD_1}| = \sqrt{2^2+0^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+0+12} = \sqrt{16} = 4$ см.

Вычислим площади боковых граней:

1. Площадь грани $ADD_1A_1$ (параллелограмм со сторонами $AD=4$ и $DD_1=4$):

Так как $D_1M \perp (ABCD)$ и $M$ лежит на $AD$, то $D_1M \perp AD$. Следовательно, $D_1M$ является высотой параллелограмма $ADD_1A_1$ к основанию $AD$.

$S_{ADD_1A_1} = AD \cdot D_1M = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$. (Эта грань является прямоугольником).

2. Площадь грани $DCC_1D_1$ (параллелограмм со сторонами $DC=4$ и $DD_1=4$):

Вектор $\vec{DC} = (0,4,0)$. Вектор $\vec{DD_1} = (2,0,2\sqrt{3})$.

$\cos(\angle CDC_1) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{0}{16} = 0$.

Следовательно, $\angle CDC_1 = 90^\circ$. Грань $DCC_1D_1$ является прямоугольником.

$S_{DCC_1D_1} = DC \cdot DD_1 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

3. Площадь грани $CBB_1C_1$ (параллелограмм со сторонами $CB=4$ и $CC_1=4$):

Вектор $\vec{CB} = (4,0,0)$ (из $C=(0,4,0)$ в $B=(4,4,0)$). Вектор $\vec{CC_1}=\vec{DD_1}=(2,0,2\sqrt{3})$.

$\cos(\angle BCC_1) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CC_1}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CC_1}|} = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle BCC_1 = 60^\circ$.

$S_{CBB_1C_1} = CB \cdot CC_1 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Площадь грани $BAA_1B_1$ (параллелограмм со сторонами $AB=4$ и $AA_1=4$):

Вектор $\vec{AB} = (0,4,0)$ (из $A=(4,0,0)$ в $B=(4,4,0)$). Вектор $\vec{AA_1}=\vec{DD_1}=(2,0,2\sqrt{3})$.

$\cos(\angle BAB_1) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AA_1}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AA_1}|} = \frac{0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{0}{16} = 0$.

Следовательно, $\angle BAB_1 = 90^\circ$. Грань $BAA_1B_1$ является прямоугольником.

$S_{BAA_1B_1} = AB \cdot AA_1 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь боковой поверхности:

$S_{lateral} = S_{ADD_1A_1} + S_{DCC_1D_1} + S_{CBB_1C_1} + S_{BAA_1B_1}$

$S_{lateral} = 8\sqrt{3} + 16 + 8\sqrt{3} + 16 = 32 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности:

$S_{total,b} = 2S_{base} + S_{lateral} = 2 \cdot 16 + (32 + 16\sqrt{3}) = 32 + 32 + 16\sqrt{3} = 64 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $64 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2$