Номер 61, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

61. Основание наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ – равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 20, AC = 32$. Боковое ребро призмы наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$, а ортогональной проекцией вершины $B_1$ является точка пересечения медиан $\triangle ABC$ (рисунок 49). Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Рисунок 49

Дано

Наклонная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Основание $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник.

$AB = BC = 20$

$AC = 32$

Боковое ребро $BB_1$ наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$.

Ортогональная проекция вершины $B_1$ на плоскость основания — точка $O$, точка пересечения медиан $\triangle ABC$.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$)

Решение

1. Найдем высоту $BH$ равнобедренного треугольника $ABC$, проведенную к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой. Точка $H$ является серединой $AC$.

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{32}{2} = 16$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle BHC$ по теореме Пифагора:

$BH^2 = BC^2 - HC^2$

$BH^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144$.

$BH = \sqrt{144} = 12$.

2. Точка $O$ — точка пересечения медиан (центроид) $\triangle ABC$. Центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поскольку $BH$ — медиана, $O$ лежит на $BH$.

$BO = \frac{2}{3} BH = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$.

$OH = \frac{1}{3} BH = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$.

3. Вычислим высоту призмы и длину бокового ребра.

Ортогональная проекция вершины $B_1$ на плоскость основания — это точка $O$. Значит, $B_1O$ — высота призмы, и $B_1O \perp (ABC)$.

Угол между боковым ребром $BB_1$ и плоскостью основания равен $60^\circ$. Это угол $\angle B_1BO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1OB$ (прямой угол при $O$).

Длина бокового ребра $l = BB_1$.

$BO = l \cdot \cos(60^\circ) \implies l = \frac{BO}{\cos(60^\circ)} = \frac{8}{1/2} = 16$.

Высота призмы $h = B_1O = BO \cdot \tan(60^\circ) = 8 \cdot \sqrt{3}$.

4. Найдем площади боковых граней призмы. Боковые грани являются параллелограммами. Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Высоты боковых граней найдем, используя теорему о трех перпендикулярах. Поскольку $B_1O \perp (ABC)$, если $OK$ — перпендикуляр из $O$ к стороне основания $XY$, то $B_1K$ — перпендикуляр к $XY$ и является высотой соответствующей боковой грани.

Найдем расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$. Площадь $\triangle ABC = S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 12 = 192$.

Центроид делит треугольник на три треугольника равной площади:

$S_{OAC} = S_{OAB} = S_{OBC} = \frac{1}{3} S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 192 = 64$.

a) Для грани $ACC_1A_1$ (основание $AC=32$):

Высота из $O$ на $AC$ — это $OH = 4$.

Высота параллелограмма $h_{AC} = B_1H$. В прямоугольном $\triangle B_1OH$:

$h_{AC}^2 = B_1O^2 + OH^2 = (8\sqrt{3})^2 + 4^2 = 64 \cdot 3 + 16 = 192 + 16 = 208$.

$h_{AC} = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}$.

Площадь грани $S_{ACC_1A_1} = AC \cdot h_{AC} = 32 \cdot 4\sqrt{13} = 128\sqrt{13}$.

б) Для грани $ABB_1A_1$ (основание $AB=20$):

Пусть $K$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AB$. $OK$ — расстояние от $O$ до $AB$.

$S_{OAB} = \frac{1}{2} AB \cdot OK \implies 64 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot OK \implies 64 = 10 \cdot OK \implies OK = 6.4$.

Высота параллелограмма $h_{AB} = B_1K$. В прямоугольном $\triangle B_1OK$:

$h_{AB}^2 = B_1O^2 + OK^2 = (8\sqrt{3})^2 + (6.4)^2 = 192 + 40.96 = 232.96$.

$h_{AB} = \sqrt{232.96} = \sqrt{\frac{23296}{100}} = \frac{\sqrt{256 \cdot 91}}{10} = \frac{16\sqrt{91}}{10} = 1.6\sqrt{91}$.

Площадь грани $S_{ABB_1A_1} = AB \cdot h_{AB} = 20 \cdot 1.6\sqrt{91} = 32\sqrt{91}$.

в) Для грани $BCC_1B_1$ (основание $BC=20$):

Пусть $M$ — основание перпендикуляра из $O$ на $BC$. $OM$ — расстояние от $O$ до $BC$.

$S_{OBC} = \frac{1}{2} BC \cdot OM \implies 64 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot OM \implies 64 = 10 \cdot OM \implies OM = 6.4$.

Высота параллелограмма $h_{BC} = B_1M$. В прямоугольном $\triangle B_1OM$:

$h_{BC}^2 = B_1O^2 + OM^2 = (8\sqrt{3})^2 + (6.4)^2 = 192 + 40.96 = 232.96$.

$h_{BC} = \sqrt{232.96} = 1.6\sqrt{91}$.

Площадь грани $S_{BCC_1B_1} = BC \cdot h_{BC} = 20 \cdot 1.6\sqrt{91} = 32\sqrt{91}$.

5. Общая площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней.

$S_{бок} = S_{ACC_1A_1} + S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1}$

$S_{бок} = 128\sqrt{13} + 32\sqrt{91} + 32\sqrt{91} = 128\sqrt{13} + 64\sqrt{91}$.

$S_{бок} = 64(2\sqrt{13} + \sqrt{91})$.

Ответ:

$S_{бок} = 64(2\sqrt{13} + \sqrt{91})$