Номер 54, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

54. a) В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с углом $45^\circ$, одно основание которой на 8 см больше другого, а ее средняя линия равна 7 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее высота равна 5 см.

б) Основание прямой призмы – равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 2 см. Диагональ большей боковой грани составляет с ее боковым ребром угол $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности призмы, если известно, что в ее основание можно вписать окружность.

а)

Дано:

Призма прямая.

Основание: равнобедренная трапеция.

Угол при основании трапеции $\alpha = 45^\circ$.

Разность оснований $a - b = 8$ см.

Средняя линия трапеции $m = 7$ см.

Высота призмы $H = 5$ см.

Перевод в СИ:

$a - b = 0.08$ м

$m = 0.07$ м

$H = 0.05$ м

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $H$ — высота призмы.

Найдем длины оснований трапеции. Пусть $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание. Средняя линия трапеции $m = \frac{a+b}{2}$.

Известно, что $m = 7$ см, значит $a+b = 2m = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Также дано, что $a-b = 8$ см.

Решим систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ a - b = 8 \end{cases}$

Сложим уравнения: $(a+b) + (a-b) = 14 + 8 \Rightarrow 2a = 22 \Rightarrow a = 11$ см.

Подставим $a=11$ в первое уравнение: $11+b = 14 \Rightarrow b = 3$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. В равнобедренной трапеции отрезки на большем основании, отсекаемые высотами, равны $x = \frac{a-b}{2}$.

$x = \frac{11-3}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Так как угол при основании трапеции равен $45^\circ$, то в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком $x$, катеты равны (так как угол $45^\circ$): $h_{тр} = x = 4$ см.

Найдем площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = m \cdot h_{тр} = 7 \cdot 4 = 28$ см$^2$.

Найдем боковую сторону трапеции $c$. В прямоугольном треугольнике с катетами $h_{тр}$ и $x$, и гипотенузой $c$, $\sin 45^\circ = \frac{h_{тр}}{c}$.

$c = \frac{h_{тр}}{\sin 45^\circ} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Найдем периметр основания $P_{осн}$: $P_{осн} = a + b + 2c = 14 + 2 \cdot 4\sqrt{2} = (14 + 8\sqrt{2})$ см.

Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = (14 + 8\sqrt{2}) \cdot 5 = (70 + 40\sqrt{2})$ см$^2$.

Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 28 + (70 + 40\sqrt{2}) = 56 + 70 + 40\sqrt{2} = (126 + 40\sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $(126 + 40\sqrt{2})$ см$^2$.

б)

Дано:

Призма прямая.

Основание: равнобедренная трапеция.

Основания трапеции: $a = 8$ см, $b = 2$ см.

Угол между диагональю большей боковой грани и ее боковым ребром $\gamma = 45^\circ$.

В основание можно вписать окружность.

Перевод в СИ:

$a = 0.08$ м

$b = 0.02$ м

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, $H$ — высота призмы.

Найдем боковую сторону трапеции $c$. Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме ее боковых сторон. Для равнобедренной трапеции это означает $a+b = 2c$.

$8+2 = 2c \Rightarrow 10 = 2c \Rightarrow c = 5$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Отрезок на большем основании, отсекаемый высотой, равен $x = \frac{a-b}{2}$.

$x = \frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h_{тр}$, отрезком $x$ и боковой стороной $c$, по теореме Пифагора: $h_{тр}^2 + x^2 = c^2$.

$h_{тр}^2 + 3^2 = 5^2$

$h_{тр}^2 + 9 = 25$

$h_{тр}^2 = 16 \Rightarrow h_{тр} = 4$ см.

Найдем площадь основания $S_{осн}$: $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{8+2}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см$^2$.

Найдем высоту призмы $H$. Большая боковая грань является прямоугольником со сторонами $a=8$ см (большее основание трапеции) и $H$ (высота призмы). Диагональ этой грани, ее основание $a$ и боковое ребро $H$ образуют прямоугольный треугольник.

Угол между диагональю и боковым ребром $H$ равен $45^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике катет $a$ противолежит этому углу, а катет $H$ прилежит к нему. Тогда $\tan 45^\circ = \frac{a}{H}$.

$1 = \frac{8}{H} \Rightarrow H = 8$ см.

Найдем периметр основания $P_{осн}$: $P_{осн} = a + b + 2c = 8 + 2 + 2 \cdot 5 = 10 + 10 = 20$ см.

Найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 20 \cdot 8 = 160$ см$^2$.

Найдем площадь полной поверхности $S_{полн}$: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 20 + 160 = 40 + 160 = 200$ см$^2$.

Ответ: $200$ см$^2$.