Номер 50, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

50. Найдите сторону основания и высоту правильной четырехугольной призмы, если площадь ее полной поверхности равна $40\text{ дм}^2$, а площадь боковой поверхности на $8\text{ дм}^2$ меньше.

$S_{полн} = 40 \text{ дм}^2$

$S_{бок} = S_{полн} - 8 \text{ дм}^2$

$S_{полн} = 40 \text{ дм}^2 = 40 \times (0.1 \text{ м})^2 = 0.4 \text{ м}^2$

$S_{бок} = (40 - 8) \text{ дм}^2 = 32 \text{ дм}^2 = 32 \times (0.1 \text{ м})^2 = 0.32 \text{ м}^2$

$a$ - сторону основания

$h$ - высоту призмы

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) правильной четырехугольной призмы равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($2S_{осн}$): $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Сначала найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{бок} = S_{полн} - 8 \text{ дм}^2 = 40 \text{ дм}^2 - 8 \text{ дм}^2 = 32 \text{ дм}^2$. В системе СИ: $S_{бок} = 0.4 \text{ м}^2 - 0.08 \text{ м}^2 = 0.32 \text{ м}^2$.

Теперь, используя формулу для полной поверхности, выразим удвоенную площадь основания: $2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок}$ $2S_{осн} = 0.4 \text{ м}^2 - 0.32 \text{ м}^2$ $2S_{осн} = 0.08 \text{ м}^2$.

Отсюда, площадь одного основания: $S_{осн} = \frac{0.08 \text{ м}^2}{2} = 0.04 \text{ м}^2$.

Поскольку призма правильная четырехугольная, ее основание является квадратом. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется как $a^2$. $a^2 = S_{осн}$ $a^2 = 0.04 \text{ м}^2$.

Площадь боковой поверхности призмы также равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$): $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Периметр квадратного основания со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.

Из $a^2 = 0.04 \text{ м}^2$ находим сторону основания $a$: $a = \sqrt{0.04 \text{ м}^2} = 0.2 \text{ м}$. Переведем в дециметры: $a = 0.2 \text{ м} \times 10 \text{ дм/м} = 2 \text{ дм}$.

Ответ: $2 \text{ дм}$ высоту

Теперь найдем периметр основания: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 0.2 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$. Используя формулу для $S_{бок}$, найдем высоту $h$: $h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{0.32 \text{ м}^2}{0.8 \text{ м}} = 0.4 \text{ м}$. Переведем в дециметры: $h = 0.4 \text{ м} \times 10 \text{ дм/м} = 4 \text{ дм}$.

Ответ: $4 \text{ дм}$