Номер 45, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

45. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37 см, 23 см и 40 см. Найдите с точностью до 0,1 см расстояние между большей по площади боковой гранью и противолежащей ей боковым ребром призмы.

Дано:

Длины сторон перпендикулярного сечения (расстояния между боковыми ребрами):

$a = 37 \text{ см}$

$b = 23 \text{ см}$

$c = 40 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 37 \text{ см} = 0.37 \text{ м}$

$b = 23 \text{ см} = 0.23 \text{ м}$

$c = 40 \text{ см} = 0.40 \text{ м}$

Найти:

Расстояние между большей по площади боковой гранью и противолежащим ей боковым ребром призмы ($h_c$).

Решение:

Расстояния между боковыми ребрами наклонной призмы являются сторонами треугольника, который образует перпендикулярное сечение призмы. Пусть стороны этого треугольника равны $a = 37 \text{ см}$, $b = 23 \text{ см}$ и $c = 40 \text{ см}$.

Площадь боковой грани призмы определяется как произведение длины бокового ребра на соответствующую сторону перпендикулярного сечения. Так как длина бокового ребра одинакова для всех граней, наибольшая по площади боковая грань будет та, которой соответствует наибольшая сторона перпендикулярного сечения. В данном случае, наибольшая сторона $c = 40 \text{ см}$.

Расстояние между боковой гранью и противолежащим ей ребром равно высоте перпендикулярного сечения, опущенной на сторону, соответствующую данной грани. Таким образом, нам необходимо найти высоту $h_c$, опущенную на сторону $c = 40 \text{ см}$ в треугольнике с заданными сторонами.

Для начала найдем полупериметр $p$ перпендикулярного сечения:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{37 + 23 + 40}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}$

Теперь найдем площадь $S$ перпендикулярного сечения по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{50(50-37)(50-23)(50-40)}$

$S = \sqrt{50 \cdot 13 \cdot 27 \cdot 10}$

$S = \sqrt{500 \cdot 13 \cdot 27}$

$S = \sqrt{5 \cdot 100 \cdot 13 \cdot 27}$

$S = 10 \sqrt{5 \cdot 13 \cdot 27}$

$S = 10 \sqrt{65 \cdot 27}$

$S = 10 \sqrt{1755} \text{ см}^2$

Также площадь треугольника может быть выражена через сторону и высоту, опущенную на эту сторону: $S = \frac{1}{2} c h_c$.

Отсюда выразим $h_c$:

$h_c = \frac{2S}{c}$

$h_c = \frac{2 \cdot 10 \sqrt{1755}}{40}$

$h_c = \frac{20 \sqrt{1755}}{40}$

$h_c = \frac{\sqrt{1755}}{2}$

Вычислим значение:

$\sqrt{1755} \approx 41.8927$

$h_c \approx \frac{41.8927}{2} \approx 20.94635 \text{ см}$

Округлим результат до 0,1 см:

$h_c \approx 20.9 \text{ см}$

Ответ: 20.9 см