Номер 43, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

43. Изготовьте модель наклонной четырехугольной призмы, четыре грани которой являются квадратами.

Дано:

Задача требует изготовить модель геометрической фигуры, а не произвести численные вычисления. Следовательно, "дано" описывает свойства и требования к модели.

• Модель должна представлять собой наклонную призму.

• Призма должна быть четырехугольной (т.е., иметь четыре боковые грани и два основания в форме четырехугольников).

• Четыре из шести граней призмы должны быть квадратами.

Найти:

Описание конструкции и шаги для изготовления физической модели наклонной четырехугольной призмы, удовлетворяющей заданным условиям.

Решение:

Анализ геометрических свойств:

Четырехугольная призма состоит из двух оснований и четырех боковых граней. Всего у нее шесть граней. Условие "наклонная призма" означает, что боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим, какие грани могут быть квадратами:

1. Если все четыре боковые грани являются квадратами, то это автоматически означает, что боковые ребра перпендикулярны основаниям (так как стороны квадратов перпендикулярны). В этом случае призма была бы прямой, что противоречит условию "наклонная". Следовательно, не все боковые грани могут быть квадратами.

2. Если два основания являются квадратами, и две смежные боковые грани также являются квадратами (например, $ABB'A'$ и $ADD'A'$). Пусть сторона квадрата основания равна $a$. Для того чтобы $ABB'A'$ была квадратом, боковое ребро $AA'$ должно быть перпендикулярно стороне основания $AB$ ($AA' \perp AB$) и иметь длину $a$. Аналогично, для того чтобы $ADD'A'$ была квадратом, $AA'$ должно быть перпендикулярно $AD$ ($AA' \perp AD$) и иметь длину $a$. Поскольку $AB$ и $AD$ являются смежными сторонами квадрата основания и, следовательно, перпендикулярны друг другу, то ребро $AA'$ будет перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости основания. Это означает, что $AA'$ перпендикулярно всей плоскости основания, делая призму прямой. Это также противоречит условию "наклонная".

3. Единственная возможная интерпретация, которая удовлетворяет всем условиям, заключается в следующем: два основания призмы являются квадратами, и две противоположные боковые грани также являются квадратами.

   Пусть сторона квадратного основания равна $a$.

   Тогда:

   • Два основания призмы — это квадраты со стороной $a$. (2 квадратные грани)

   • Пусть две противоположные боковые грани, например, $ABB'A'$ и $CDD'C'$, являются квадратами. Это означает, что длина бокового ребра $AA'$ равна $a$, и $AA' \perp AB$. Также $DD' \perp DC$. Поскольку $AA' \parallel DD'$ и $AB \parallel DC$, эти условия согласованы.

   • Для того чтобы призма была наклонной, боковое ребро $AA'$ не должно быть перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что угол между $AA'$ и смежным ребром основания, не являющимся $AB$ (например, $AD$), должен быть отличным от $90^\circ$.

   • Следовательно, две оставшиеся боковые грани ($ADD'A'$ и $BCC'B'$) будут ромбами (параллелограммами с равными сторонами $a$, но с углами, не равными $90^\circ$). Их стороны будут равны $a$, но внутренние углы будут отличаться от $90^\circ$. Например, можно выбрать угол $60^\circ$ (и $120^\circ$) для этих ромбов.

   Таким образом, модель будет иметь 4 квадратные грани (два основания и две противоположные боковые грани) и 2 ромбические боковые грани, что соответствует условиям задачи для наклонной призмы.

Описание модели:

Модель будет представлять собой призму с двумя квадратными основаниями. Все боковые ребра призмы будут равны стороне основания. Две противоположные боковые грани будут квадратами, а две другие (смежные с ними) боковые грани будут ромбами с той же длиной стороны, но с острыми и тупыми углами. Высота призмы (перпендикулярное расстояние между основаниями) будет меньше длины бокового ребра.

Например, если сторона основания $a$, то боковое ребро тоже $a$. Пусть угол между боковым ребром $AA'$ и стороной основания $AD$ равен $\theta$, где $\theta \ne 90^\circ$. Тогда проекция $A'$ на плоскость основания, точка $H$, будет находиться на прямой $AD$ на расстоянии $x = a \cos(\theta)$ от $A$. Высота призмы будет $h = a \sin(\theta)$.

Изготовление модели (развертка):

Для изготовления модели вам понадобятся: плотный картон или бумага, линейка, карандаш, ножницы, клей или скотч.

1. Выберите удобную длину стороны $a$ для квадратов (например, $5 \text{ см}$).

2. Начертите развертку призмы. Самый простой способ — начертить центральный квадрат (одно из оснований, например $ABCD$) и прикрепить к его сторонам боковые грани.

3. К сторонам $AB$ и $CD$ центрального квадрата прикрепите два других квадрата со стороной $a$. Это будут квадратные боковые грани $ABB'A'$ и $CDD'C'$.

4. К сторонам $BC$ и $DA$ центрального квадрата прикрепите два ромба со стороной $a$. Для этих ромбов необходимо выбрать угол, не равный $90^\circ$. Например, можно выбрать острый угол $60^\circ$. Тогда смежный ему угол будет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Высота такого ромба будет $a \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866a$.

   Для построения ромба с углом $60^\circ$: начертите сторону длиной $a$. Из одного ее конца проведите отрезок длиной $a$ под углом $60^\circ$. Из другого конца первого отрезка проведите отрезок длиной $a$ параллельно второму. Соедините оставшиеся концы.

5. К верхнему краю одной из боковых граней (например, к $A'B'$ квадрата $ABB'A'$) прикрепите второе квадратное основание $A'B'C'D'$. Убедитесь, что стороны этого квадрата будут совпадать с верхними сторонами боковых граней при складывании ($A'D'$ совпадет с верхней стороной ромба $ADD'A'$, $B'C'$ с верхней стороной ромба $BCC'B'$, а $C'D'$ с верхней стороной квадрата $CDD'C'$).

6. Добавьте клапаны для склеивания вдоль всех внешних ребер развертки.

7. Аккуратно вырежьте развертку по внешнему контуру.

8. Согните развертку по всем линиям. Используйте линейку для точных сгибов.

9. Склейте модель, используя клапаны.

Ответ:

Модель наклонной четырехугольной призмы, четыре грани которой являются квадратами, будет иметь два квадратных основания и две противоположные боковые грани в форме квадратов. Две другие боковые грани будут ромбами. Для создания модели необходимо начертить и вырезать развертку, состоящую из двух квадратов для оснований, двух квадратов для боковых граней и двух ромбов для оставшихся боковых граней. Все стороны этих фигур, соответствующие ребрам призмы, должны иметь одинаковую длину $a$. Углы ромбических граней должны быть отличны от $90^\circ$ (например, $60^\circ$ и $120^\circ$), чтобы призма была наклонной.