Номер 37, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

37. Верно ли, что:

а) число ребер любой призмы кратно 3;

б) сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна $360^\circ$ (рисунок 42);

в) все диагональные сечения правильной призмы равновелики?

Рисунок 42

a) число ребер любой призмы кратно 3;

Верно. Пусть основанием призмы является $n$-угольник. Тогда призма имеет две грани-основания (верхнее и нижнее), каждая из которых является $n$-угольником. Каждое основание имеет $n$ ребер. Кроме того, призма имеет $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Таким образом, общее количество ребер призмы равно $n$ (ребра верхнего основания) + $n$ (ребра нижнего основания) + $n$ (боковые ребра) = $3n$. Поскольку $n$ является целым числом (и $n \ge 3$ для призмы), то $3n$ всегда кратно 3.

Ответ: Верно.

б) сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна 360° (рисунок 42);

Верно. Двугранный угол при боковом ребре призмы – это угол между двумя смежными боковыми гранями. Величина этого угла равна внутреннему углу многоугольника, полученного в сечении призмы плоскостью, перпендикулярной всем боковым ребрам (так называемое нормальное сечение). Такое сечение является многоугольником, конгруэнтным основанию, если призма прямая, или другим многоугольником, если призма наклонная. Однако сумма внутренних углов любого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для четырехугольной призмы $n=4$. Следовательно, сумма двугранных углов при боковых ребрах равна $(4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Верно.

в) все диагональные сечения правильной призмы равновелики?

Неверно. Правильная призма – это прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники. Диагональное сечение призмы – это плоскость, проходящая через два несоседних боковых ребра. Каждое диагональное сечение является прямоугольником, одна сторона которого равна высоте призмы $h$ (длине бокового ребра), а другая сторона – диагонали основания призмы. Для того чтобы все диагональные сечения были равновелики, необходимо, чтобы все диагонали правильного многоугольника, лежащего в основании, были равны по длине.

Рассмотрим примеры: для правильной треугольной призмы диагональных сечений не существует, так как нет несоседних вершин. Для правильной четырехугольной призмы (прямой призмы с квадратным основанием) все диагонали квадрата равны между собой. Следовательно, все диагональные сечения будут конгруэнтны и равновелики. Однако для правильной шестиугольной призмы (прямой призмы с правильным шестиугольным основанием) существуют диагонали разной длины. Например, диагональ, соединяющая противолежащие вершины, имеет длину $2a$ (где $a$ – сторона шестиугольника), а диагональ, соединяющиеся вершины через одну, имеет длину $a\sqrt{3}$. Поскольку длины диагоналей основания не равны, площади диагональных сечений (равные произведению длины диагонали на высоту призмы $h$) будут различаться.

Таким образом, утверждение неверно для всех правильных призм в общем случае.

Ответ: Неверно.