Номер 30, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

30. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 24 см и 10 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол, равный $45^\circ$. Найдите боковое ребро этого параллелепипеда.

Дано:

Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда: $a = 24 \text{ см}$
$b = 10 \text{ см}$
Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$
$b = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$
$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Боковое ребро (высоту) $h$ параллелепипеда.

Решение:

1. Для начала найдем длину диагонали основания прямоугольного параллелепипеда. Основание является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания ($d_{осн}$) можно найти по теореме Пифагора: $d_{осн}^2 = a^2 + b^2$
$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$
Подставляем заданные значения: $d_{осн} = \sqrt{(24 \text{ см})^2 + (10 \text{ см})^2}$
$d_{осн} = \sqrt{576 \text{ см}^2 + 100 \text{ см}^2}$
$d_{осн} = \sqrt{676 \text{ см}^2}$
$d_{осн} = 26 \text{ см}$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образован диагональю параллелепипеда ($D$), диагональю основания ($d_{осн}$) и боковым ребром (высотой) параллелепипеда ($h$). В этом треугольнике боковое ребро $h$ является катетом, диагональ основания $d_{осн}$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$, а диагональ параллелепипеда $D$ является гипотенузой.

3. Угол $\alpha = 45^\circ$ - это угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания (то есть между диагональю параллелепипеда и диагональю основания). Воспользуемся определением тангенса для нахождения бокового ребра: $\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$
В нашем случае: $\tan(\alpha) = \frac{h}{d_{осн}}$
Выразим $h$: $h = d_{осн} \cdot \tan(\alpha)$
Подставляем значения $d_{осн} = 26 \text{ см}$ и $\alpha = 45^\circ$: $h = 26 \text{ см} \cdot \tan(45^\circ)$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$: $h = 26 \text{ см} \cdot 1$
$h = 26 \text{ см}$

Ответ:

Боковое ребро параллелепипеда равно $26 \text{ см}$.