Номер 23, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

23. Изобразите многогранник, являющийся объединением двух четырехугольных пирамид $PABCD$ и $SABCD$. Сколько в нем:

а) граней;

б) ребер;

в) вершин;

г) диагоналей?

Дано: Многогранник, являющийся объединением двух четырехугольных пирамид $PABCD$ и $SABCD$, имеющих общую базу $ABCD$.

Найти: a) количество граней; б) количество ребер; в) количество вершин; г) количество диагоналей.

Решение:

Представим себе две четырехугольные пирамиды $PABCD$ и $SABCD$. Они имеют общее основание $ABCD$. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ является их общей гранью, которая при объединении перестает быть внешней гранью многогранника и становится внутренней плоскостью. Вершины $P$ и $S$ являются вершинами пирамид, лежащими по разные стороны от основания $ABCD$. Получившийся многогранник называется четырехугольной бипирамидой.

Рассмотрим характеристики одной четырехугольной пирамиды (например, $PABCD$):

Вершины: 5 (4 вершины основания $A, B, C, D$ и вершина $P$).

Ребра: 8 (4 ребра основания $AB, BC, CD, DA$ и 4 боковых ребра $PA, PB, PC, PD$).

Грани: 5 (1 основание $ABCD$ и 4 боковые треугольные грани $PAB, PBC, PCD, PDA$).

Теперь объединим две такие пирамиды по общему основанию $ABCD$.

а) граней;

Каждая пирамида имеет 4 боковые грани. При объединении по общему основанию $ABCD$, само основание перестает быть внешней гранью многогранника. Таким образом, количество граней нового многогранника будет равно сумме боковых граней обеих пирамид.

Количество граней $F = (\text{боковые грани } PABCD) + (\text{боковые грани } SABCD) = 4 + 4 = 8$.

Эти 8 граней являются треугольниками: $PAB, PBC, PCD, PDA, SAB, SBC, SCD, SDA$.

Ответ: 8

б) ребер;

Ребра основания $AB, BC, CD, DA$ являются общими для обеих пирамид и образуют 4 ребра нового многогранника. Каждая пирамида имеет 4 боковых ребра (например, $PA, PB, PC, PD$ для первой и $SA, SB, SC, SD$ для второй), которые не являются общими. Они также становятся ребрами нового многогранника.

Количество ребер $E = (\text{ребра основания}) + (\text{боковые ребра от } P) + (\text{боковые ребра от } S) = 4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12

в) вершин;

Вершины основания $A, B, C, D$ являются общими для обеих пирамид и образуют 4 вершины нового многогранника. Вершины $P$ и $S$ являются уникальными для каждой пирамиды и также становятся вершинами нового многогранника.

Количество вершин $V = (\text{вершины основания}) + (\text{вершина } P) + (\text{вершина } S) = 4 + 1 + 1 = 6$.

Проверка по формуле Эйлера для выпуклых многогранников ($V - E + F = 2$): $6 - 12 + 8 = 2$. Формула выполняется.

Ответ: 6

г) диагоналей?

Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани. Общее количество вершин $V=6$. Общее количество пар вершин, которые можно соединить, вычисляется по формуле сочетаний: $N_{pairs} = \binom{V}{2} = \frac{V(V-1)}{2}$.

$N_{pairs} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Из этого числа необходимо вычесть количество ребер многогранника и количество диагоналей, лежащих на гранях. Мы уже определили количество ребер $E = 12$. Грани нашего многогранника — это треугольники (например, $PAB, SAB$). Треугольники не имеют диагоналей, так как любые две вершины треугольника уже соединены ребром. Таким образом, все отрезки, соединяющие пары вершин, которые не являются ребрами, будут диагоналями многогранника.

Количество диагоналей $D = N_{pairs} - E = 15 - 12 = 3$.

Перечислим эти диагонали: 1. $AC$ — диагональ основания $ABCD$. Вершины $A$ и $C$ не принадлежат одной грани (они являются вершинами $ABCD$, но $ABCD$ не является внешней гранью). 2. $BD$ — диагональ основания $ABCD$. Вершины $B$ и $D$ также не принадлежат одной грани. 3. $PS$ — соединяет две вершины пирамид (апексы), которые не являются вершинами основания. Эти вершины также не лежат на одной грани.

Ответ: 3