Страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Что называется многогранником? Приведите примеры многогранников и назовите их элементы.

2. Какой многогранник называется выпуклым, а какой – невыпуклым?

3. Объясните, что такое развертка многогранника.

4. Что называется призмой?

5. Какая призма называется: а) прямой; б) наклонной; в) правильной?

1. Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника.

Примерами многогранников являются: куб, параллелепипед, призма, пирамида.

Основными элементами многогранника являются:

– Грани – это многоугольники, образующие поверхность многогранника.

– Ребра – это отрезки, являющиеся сторонами граней. Каждое ребро является общим для двух смежных граней.

– Вершины – это точки, в которых сходятся ребра многогранника.

Ответ: Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Примеры: куб, призма, пирамида. Элементы: грани (многоугольники), ребра (стороны граней), вершины (точки схождения ребер).

2. Многогранник называется выпуклым, если он полностью лежит по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Другими словами, если провести плоскость через любую грань выпуклого многогранника, то весь многогранник окажется с одной стороны от этой плоскости. Также выпуклым является многогранник, для которого отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком принадлежит этому многограннику.

Многогранник называется невыпуклым (или вогнутым), если он не является выпуклым. Это означает, что существует хотя бы одна грань, плоскость которой пересекает многогранник, разделяя его на части. Отрезок, соединяющий некоторые пары точек невыпуклого многогранника, может выходить за его пределы.

Ответ: Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, в то время как невыпуклый многогранник этим свойством не обладает.

3. Развертка многогранника — это плоская фигура, которая получается, если поверхность многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости. Развертка состоит из многоугольников, равных граням многогранника, и расположена так, что после сгибания по линиям, соответствующим ребрам, и склеивания по разрезам можно снова собрать исходный многогранник. У одного и того же многогранника может быть несколько разных разверток.

Ответ: Развертка многогранника — это плоская фигура из его граней, которую можно сложить и склеить, чтобы получить исходный многогранник.

4. Призмой называется многогранник, который состоит из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Равные многоугольники называются основаниями призмы, а остальные грани — боковыми гранями. Боковые грани призмы всегда являются параллелограммами.

Ответ: Призма — это многогранник с двумя равными и параллельными основаниями (многоугольниками) и боковыми гранями в форме параллелограммов.

5. а) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками.

б) Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований. У наклонной призмы боковые грани — параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками (в общем случае).

в) Призма называется правильной, если она является прямой, а ее основаниями служат правильные многоугольники (то есть многоугольники, у которых все стороны и все углы равны).

Ответ: а) Прямая призма — призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям. б) Наклонная призма — призма, у которой боковые ребра не перпендикулярны основаниям. в) Правильная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

21. Какое наименьшее число:

а) граней;

б) ребер;

в) вершин может иметь многогранник?

Решение

Многогранник — это замкнутое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями). Для любого многогранника справедлива формула Эйлера, связывающая число вершин ($V$), рёбер ($E$) и граней ($F$): $V - E + F = 2$.

Также существуют минимальные требования к структуре многогранника:

• Каждая грань должна быть многоугольником, то есть иметь не менее 3 рёбер.
• В каждой вершине должно сходиться не менее 3 рёбер.
• В каждой вершине должно сходиться не менее 3 граней.
• Каждое ребро является общей стороной ровно двух граней.

Исходя из этих правил, рассмотрим наименьшее возможное количество элементов. Самым простым (выпуклым) многогранником является тетраэдр.

а) граней

Для того чтобы многогранник мог замкнуть объем, ему необходимо иметь как минимум 4 грани. Меньшее количество граней не позволяет сформировать замкнутую поверхность, так как любые 3 плоскости, пересекаясь, не могут ограничить конечный объем. Например, 3 плоскости пересекаются либо в одной точке, либо по трем линиям, но не образуют замкнутого тела. Наименьшее число граней имеет тетраэдр, у которого 4 грани (треугольники).

Ответ: 4

б) рёбер

Из пункта а) мы знаем, что минимальное количество граней равно 4. Каждая грань должна быть многоугольником с не менее чем 3 рёбрами (т.е. треугольником). Если бы каждая из 4 граней была треугольником, то общее количество "рёбер на гранях" составило бы $4 \times 3 = 12$. Поскольку каждое ребро является общей стороной ровно двух граней, общее количество рёбер $E$ будет в два раза меньше этой суммы. Следовательно, $E = \frac{4 \times 3}{2} = 6$. Проверим это с помощью формулы Эйлера. Для тетраэдра $F=4$, $V=4$. Тогда $V - E + F = 2 \implies 4 - E + 4 = 2 \implies 8 - E = 2 \implies E = 6$. Таким образом, наименьшее число рёбер равно 6. Это количество рёбер у тетраэдра.

Ответ: 6

в) вершин

Используем формулу Эйлера: $V - E + F = 2$. Мы уже определили минимальное количество граней $F=4$ и минимальное количество рёбер $E=6$. Подставляем эти значения в формулу: $V - 6 + 4 = 2$ $V - 2 = 2$ $V = 4$ Таким образом, наименьшее число вершин, которое может иметь многогранник, равно 4. Это количество вершин у тетраэдра.

Ответ: 4

22. На рисунке 40 изображен многогранник ABCDE, все грани которого правильные треугольники. Назовите:

а) его смежные грани;

б) плоские углы при вершине $D$;

в) диагональ этого многогранника.

Рисунок 40

а) его смежные грани

Смежные грани многогранника — это грани, имеющие общую сторону (ребро). Данный многогранник $ABCDE$ является треугольной бипирамидой, у которой вершины A и E являются полюсами, а вершины B, C, D образуют экваториальный треугольник. Все грани многогранника — правильные треугольники.

Грани многогранника:

Верхняя часть: $\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$.

Нижняя часть: $\triangle EBC$, $\triangle ECD$, $\triangle EBD$.

Пары смежных граней (с указанием общего ребра): $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ (общая сторона AB); $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ (общая сторона AC); $\triangle ABC$ и $\triangle EBC$ (общая сторона BC); $\triangle ACD$ и $\triangle ABD$ (общая сторона AD); $\triangle ACD$ и $\triangle ECD$ (общая сторона CD); $\triangle ABD$ и $\triangle EBD$ (общая сторона BD); $\triangle EBC$ и $\triangle EBD$ (общая сторона EB); $\triangle EBC$ и $\triangle ECD$ (общая сторона EC); $\triangle ECD$ и $\triangle EBD$ (общая сторона ED).

Ответ: $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$; $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$; $\triangle ABC$ и $\triangle EBC$; $\triangle ACD$ и $\triangle ABD$; $\triangle ACD$ и $\triangle ECD$; $\triangle ABD$ и $\triangle EBD$; $\triangle EBC$ и $\triangle EBD$; $\triangle EBC$ и $\triangle ECD$; $\triangle ECD$ и $\triangle EBD$.

б) плоские углы при вершине D

Плоские углы при вершине многогранника — это углы его граней, сходящихся в данной вершине. В условии сказано, что все грани многогранника являются правильными треугольниками. Следовательно, каждый угол любой грани равен $60^\circ$.

В вершине D сходятся четыре грани: $\triangle ABD$, $\triangle ACD$, $\triangle EBD$, $\triangle ECD$.

Плоские углы при вершине D, лежащие в этих гранях, следующие:

$\angle ADB$ (из грани $\triangle ABD$), $\angle ADC$ (из грани $\triangle ACD$), $\angle EDB$ (из грани $\triangle EBD$), $\angle EDC$ (из грани $\triangle ECD$).

Поскольку все грани являются правильными треугольниками, каждый из этих углов равен $60^\circ$.

Ответ: $\angle ADB$, $\angle ADC$, $\angle EDB$, $\angle EDC$. Все они равны $60^\circ$.

в) диагональ этого многогранника

Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Вершины данного многогранника: A, B, C, D, E.

Перечислим все ребра многогранника (отрезки, соединяющие вершины, лежащие на одной грани): AB, AC, AD, BC, CD, DB, EB, EC, ED. Все эти отрезки являются ребрами, а не диагоналями.

Теперь рассмотрим пары вершин, которые не соединены ребром. Единственная такая пара — это вершины A и E.

Проверим, лежат ли вершины A и E на одной грани. Перечислим все грани многогранника: $\triangle ABC$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$, $\triangle EBC$, $\triangle ECD$, $\triangle EBD$. Ни одна из этих граней не содержит одновременно вершины A и E.

Таким образом, отрезок, соединяющий вершины A и E, является диагональю многогранника.

Ответ: AE

23. Изобразите многогранник, являющийся объединением двух четырехугольных пирамид $PABCD$ и $SABCD$. Сколько в нем:

а) граней;

б) ребер;

в) вершин;

г) диагоналей?

Дано: Многогранник, являющийся объединением двух четырехугольных пирамид $PABCD$ и $SABCD$, имеющих общую базу $ABCD$.

Найти: a) количество граней; б) количество ребер; в) количество вершин; г) количество диагоналей.

Решение:

Представим себе две четырехугольные пирамиды $PABCD$ и $SABCD$. Они имеют общее основание $ABCD$. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ является их общей гранью, которая при объединении перестает быть внешней гранью многогранника и становится внутренней плоскостью. Вершины $P$ и $S$ являются вершинами пирамид, лежащими по разные стороны от основания $ABCD$. Получившийся многогранник называется четырехугольной бипирамидой.

Рассмотрим характеристики одной четырехугольной пирамиды (например, $PABCD$):

Вершины: 5 (4 вершины основания $A, B, C, D$ и вершина $P$).

Ребра: 8 (4 ребра основания $AB, BC, CD, DA$ и 4 боковых ребра $PA, PB, PC, PD$).

Грани: 5 (1 основание $ABCD$ и 4 боковые треугольные грани $PAB, PBC, PCD, PDA$).

Теперь объединим две такие пирамиды по общему основанию $ABCD$.

а) граней;

Каждая пирамида имеет 4 боковые грани. При объединении по общему основанию $ABCD$, само основание перестает быть внешней гранью многогранника. Таким образом, количество граней нового многогранника будет равно сумме боковых граней обеих пирамид.

Количество граней $F = (\text{боковые грани } PABCD) + (\text{боковые грани } SABCD) = 4 + 4 = 8$.

Эти 8 граней являются треугольниками: $PAB, PBC, PCD, PDA, SAB, SBC, SCD, SDA$.

Ответ: 8

б) ребер;

Ребра основания $AB, BC, CD, DA$ являются общими для обеих пирамид и образуют 4 ребра нового многогранника. Каждая пирамида имеет 4 боковых ребра (например, $PA, PB, PC, PD$ для первой и $SA, SB, SC, SD$ для второй), которые не являются общими. Они также становятся ребрами нового многогранника.

Количество ребер $E = (\text{ребра основания}) + (\text{боковые ребра от } P) + (\text{боковые ребра от } S) = 4 + 4 + 4 = 12$.

Ответ: 12

в) вершин;

Вершины основания $A, B, C, D$ являются общими для обеих пирамид и образуют 4 вершины нового многогранника. Вершины $P$ и $S$ являются уникальными для каждой пирамиды и также становятся вершинами нового многогранника.

Количество вершин $V = (\text{вершины основания}) + (\text{вершина } P) + (\text{вершина } S) = 4 + 1 + 1 = 6$.

Проверка по формуле Эйлера для выпуклых многогранников ($V - E + F = 2$): $6 - 12 + 8 = 2$. Формула выполняется.

Ответ: 6

г) диагоналей?

Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани. Общее количество вершин $V=6$. Общее количество пар вершин, которые можно соединить, вычисляется по формуле сочетаний: $N_{pairs} = \binom{V}{2} = \frac{V(V-1)}{2}$.

$N_{pairs} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Из этого числа необходимо вычесть количество ребер многогранника и количество диагоналей, лежащих на гранях. Мы уже определили количество ребер $E = 12$. Грани нашего многогранника — это треугольники (например, $PAB, SAB$). Треугольники не имеют диагоналей, так как любые две вершины треугольника уже соединены ребром. Таким образом, все отрезки, соединяющие пары вершин, которые не являются ребрами, будут диагоналями многогранника.

Количество диагоналей $D = N_{pairs} - E = 15 - 12 = 3$.

Перечислим эти диагонали: 1. $AC$ — диагональ основания $ABCD$. Вершины $A$ и $C$ не принадлежат одной грани (они являются вершинами $ABCD$, но $ABCD$ не является внешней гранью). 2. $BD$ — диагональ основания $ABCD$. Вершины $B$ и $D$ также не принадлежат одной грани. 3. $PS$ — соединяет две вершины пирамид (апексы), которые не являются вершинами основания. Эти вершины также не лежат на одной грани.

Ответ: 3