Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

4. a) Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника, пересечь третью его сторону?

б) Имеются две плоскости, каждая из которых параллельна одной и той же прямой. Каково может быть взаимное расположение этих плоскостей?

а) Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника, пересечь третью его сторону?

Да, может. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина стороны $AB$, а $N$ – середина стороны $AC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника. По теореме о средней линии, $MN$ параллельна третьей стороне $BC$, то есть $MN \parallel BC$. Плоскость, проходящая через середины $M$ и $N$, содержит линию $MN$.

Если плоскость, о которой идет речь, совпадает с плоскостью, в которой лежит треугольник $ABC$, то эта плоскость содержит все стороны треугольника, включая третью сторону $BC$. В таком случае, плоскость "пересекает" третью сторону, так как она содержит ее целиком.

Если же рассматриваемая плоскость не совпадает с плоскостью треугольника $ABC$, то, поскольку она содержит линию $MN$, которая параллельна $BC$, сама плоскость будет параллельна стороне $BC$. В этом случае плоскость не пересечет третью сторону $BC$.

Так как вопрос "Может ли?", то одного положительного примера достаточно.

Ответ: Да, может.

б) Имеются две плоскости, каждая из которых параллельна одной и той же прямой. Каково может быть взаимное расположение этих плоскостей?

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, и прямая $l$. По условию, $\alpha \parallel l$ и $\beta \parallel l$. Возможны следующие взаимные расположения плоскостей:

1. Плоскости параллельны.

   Это может быть случай, когда плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны и не совпадают. Например, если $l$ – это ось $x$, то плоскость $y=0$ (плоскость $xz$) параллельна $l$, и плоскость $y=1$ также параллельна $l$. Эти две плоскости параллельны между собой.

   Случай, когда плоскости совпадают, также является частным случаем параллельности. Если $\alpha = \beta$, то очевидно, что $\alpha \parallel l$ и $\beta \parallel l$ выполняются одновременно.

2. Плоскости пересекаются.

   Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, то их пересечение образует прямую. Обозначим эту прямую $m$. Докажем, что в этом случае прямая $m$ должна быть параллельна прямой $l$.

   Пусть $\vec{u}$ – направляющий вектор прямой $l$.Пусть $\vec{n}_{\alpha}$ – нормальный вектор плоскости $\alpha$. Так как $\alpha \parallel l$, то $\vec{n}_{\alpha} \perp \vec{u}$, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{u} = 0$.Пусть $\vec{n}_{\beta}$ – нормальный вектор плоскости $\beta$. Так как $\beta \parallel l$, то $\vec{n}_{\beta} \perp \vec{u}$, то есть $\vec{n}_{\beta} \cdot \vec{u} = 0$.

   Направляющий вектор прямой пересечения $m$ перпендикулярен обоим нормальным векторам $\vec{n}_{\alpha}$ и $\vec{n}_{\beta}$, то есть он параллелен их векторному произведению: $\vec{v}_m \parallel \vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{\beta}$.Поскольку $\vec{u}$ перпендикулярен как $\vec{n}_{\alpha}$, так и $\vec{n}_{\beta}$, вектор $\vec{u}$ также параллелен $\vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{\beta}$.Отсюда следует, что направляющий вектор прямой $m$ параллелен направляющему вектору прямой $l$, то есть $\vec{v}_m \parallel \vec{u}$. Таким образом, прямая пересечения $m$ параллельна прямой $l$.

   Пример: Пусть $l$ – это ось $x$. Плоскость $y=0$ (плоскость $xz$) параллельна $l$. Плоскость $z=0$ (плоскость $xy$) также параллельна $l$. Эти две плоскости пересекаются по оси $x$, которая является прямой $l$. Другой пример: плоскость $y=1$ параллельна $l$, плоскость $z=1$ также параллельна $l$. Они пересекаются по прямой $y=1, z=1$, которая параллельна $l$.

Ответ: Плоскости могут быть параллельными (включая случай совпадения) или пересекаться по прямой, которая параллельна данной прямой.

5. Верно ли, что если линии пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ плоскостью $\gamma$ параллельны, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны?

Решение

Утверждение, которое необходимо проверить, звучит так: "Верно ли, что если линии пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ плоскостью $\gamma$ параллельны, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны?"

Пусть $L_1$ — это линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\gamma$, то есть $L_1 = \alpha \cap \gamma$.

Пусть $L_2$ — это линия пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$, то есть $L_2 = \beta \cap \gamma$.

Нам дано условие, что $L_1 \parallel L_2$. Мы должны определить, следует ли из этого условия, что $\alpha \parallel \beta$.

Чтобы опровергнуть данное утверждение, достаточно привести один контрпример, то есть такой случай, когда линии $L_1$ и $L_2$ параллельны, но плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны.

Рассмотрим две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые не параллельны. Если они не параллельны, значит, они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $L_{пересечения} = \alpha \cap \beta$.

В качестве примера, представим плоскость $\alpha$ как координатную плоскость $xz$ (уравнение $y=0$) и плоскость $\beta$ как координатную плоскость $yz$ (уравнение $x=0$). Эти две плоскости пересекаются по оси $z$. Очевидно, что $\alpha \not\parallel \beta$. В данном случае $L_{пересечения}$ является осью $z$.

Теперь выберем третью плоскость $\gamma$ таким образом, чтобы она была параллельна оси $z$. Например, возьмем плоскость $\gamma$ с уравнением $x+y=1$. Эта плоскость параллельна оси $z$, поскольку её нормальный вектор $(1,1,0)$ перпендикулярен направляющему вектору оси $z$, который равен $(0,0,1)$.

Найдем линии пересечения:

1. Линия $L_1 = \alpha \cap \gamma$:

Для плоскости $\alpha$ имеем $y=0$. Для плоскости $\gamma$ имеем $x+y=1$.

Подставляя $y=0$ в уравнение $x+y=1$, получаем $x=1$.

Таким образом, линия $L_1$ определяется как $y=0$ и $x=1$. Это прямая, параллельная оси $z$ в плоскости $xz$.

2. Линия $L_2 = \beta \cap \gamma$:

Для плоскости $\beta$ имеем $x=0$. Для плоскости $\gamma$ имеем $x+y=1$.

Подставляя $x=0$ в уравнение $x+y=1$, получаем $y=1$.

Таким образом, линия $L_2$ определяется как $x=0$ и $y=1$. Это прямая, параллельная оси $z$ в плоскости $yz$.

Обе найденные прямые $L_1$ (прямая $x=1, y=0$) и $L_2$ (прямая $x=0, y=1$) параллельны оси $z$. Следовательно, они параллельны друг другу: $L_1 \parallel L_2$.

В данном примере мы имеем ситуацию, когда линии пересечения $L_1$ и $L_2$ параллельны, но исходные плоскости $\alpha$ (плоскость $xz$) и $\beta$ (плоскость $yz$) не параллельны, так как они пересекаются по оси $z$.

Поскольку мы нашли контрпример, исходное утверждение не является верным.

Ответ: Нет, это утверждение неверно.

6. Дан правильный шестиугольник $ABCDEK$ и проведен перпендикуляр $AH$ к его плоскости. Объясните, почему отрезки $HE$ и $DE$ взаимно перпендикулярны.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEK$.

Перпендикуляр $AH$ к плоскости шестиугольника.

Найти:

Объяснить, почему отрезки $HE$ и $DE$ взаимно перпендикулярны.

Решение:

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEK$. Пусть длина его стороны равна $a$. В правильном шестиугольнике каждая сторона равна радиусу описанной окружности. Длинная диагональ правильного шестиугольника, соединяющая противоположные вершины (например, $AD$), проходит через центр и имеет длину $2a$. Короткая диагональ правильного шестиугольника, соединяющая вершины через одну (например, $AE$), имеет длину $a\sqrt{3}$. Это можно показать, рассмотрев треугольник, образованный центром шестиугольника $O$ и двумя вершинами $A$ и $E$. Угол $\angle AOE$ равен $120^\circ$ (поскольку он охватывает две стороны шестиугольника, $2 \times 60^\circ = 120^\circ$), а стороны $OA = OE = a$. По теореме косинусов для $\triangle AOE$: $AE^2 = OA^2 + OE^2 - 2 \cdot OA \cdot OE \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$, откуда $AE = a\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник $ADE$, который лежит в плоскости шестиугольника. Его стороны имеют следующие длины:

• $DE = a$ (сторона правильного шестиугольника).

• $AE = a\sqrt{3}$ (короткая диагональ правильного шестиугольника).

• $AD = 2a$ (длинная диагональ правильного шестиугольника).

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Дано, что прямая $AH$ перпендикулярна плоскости шестиугольника $ABCDEK$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. Отрезок $AE$ является наклонной к плоскости шестиугольника. Отрезок $HE$ является проекцией наклонной $AE$ на плоскость шестиугольника (так как $H$ - основание перпендикуляра из $A$, а $E$ лежит в плоскости). Отрезок $DE$ является прямой, лежащей в плоскости шестиугольника. Мы уже доказали, что наклонная $AE$ перпендикулярна прямой $DE$, которая лежит в плоскости ($AE \perp DE$). Согласно теореме о трех перпендикулярах: "Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость". В нашем случае:

1. Прямая $AH$ перпендикулярна плоскости шестиугольника.

2. $AE$ – наклонная к этой плоскости.

3. $HE$ – проекция наклонной $AE$ на плоскость.

4. $DE$ – прямая, лежащая в плоскости шестиугольника.

5. Мы доказали, что наклонная $AE$ перпендикулярна прямой $DE$ ($AE \perp DE$).

Ответ:

Отрезки $HE$ и $DE$ взаимно перпендикулярны. Это следует из того, что в правильном шестиугольнике отрезок $AE$ (являющийся наклонной к плоскости) перпендикулярен отрезку $DE$ (что доказывается по обратной теореме Пифагора для $\triangle ADE$), а по теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, то и ее проекция (отрезок $HE$) перпендикулярна этой же прямой ($DE$).

перпендикулярна.

7. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2 м, пересечены прямой, образующей с каждой из этих плоскостей угол $45^\circ$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.

7. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2 м, пересечены прямой, образующей с каждой из этих плоскостей угол 45°. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.

Дано

Расстояние между параллельными плоскостями: $h = 2 \, \text{м}$

Угол между прямой и плоскостью: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в систему СИ: Данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы).

Найти:

Длину отрезка прямой, заключенного между плоскостями: $L$

Решение

Пусть $L$ — длина отрезка прямой, заключенного между двумя параллельными плоскостями. Пусть $h$ — это расстояние между этими плоскостями.

Прямая, пересекающая две параллельные плоскости, образует одинаковый угол с каждой из них. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный отрезком прямой между плоскостями, перпендикуляром от точки пересечения на одной плоскости до другой плоскости, и проекцией отрезка на одну из плоскостей.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является искомый отрезок прямой $L$. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен расстоянию между плоскостями $h$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Подставляем наши обозначения:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Из этого соотношения выразим $L$:

$L = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим числовые значения:

$h = 2 \, \text{м}$

$\alpha = 45^\circ$

Известно, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$L = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$L = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}}$

$L = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$L = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$L = \frac{4\sqrt{2}}{2}$

$L = 2\sqrt{2} \, \text{м}$

Ответ:

$2\sqrt{2} \, \text{м}$

8. Расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ соответственно равны 12,5 см и 3,5 см. Длина проекции отрезка $AB$ на эту плоскость равна 12 см. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$. Рассмотрите случаи, когда отрезок $AB$ не пересекает или пересекает $\alpha$.

Дано

$h_A = 12.5 \text{ см}$

$h_B = 3.5 \text{ см}$

$AB' = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$h_A = 0.125 \text{ м}$

$h_B = 0.035 \text{ м}$

$AB' = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$AB$

Решение

Пусть $A'$ и $B'$ — ортогональные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Тогда $AA' = h_A$ и $BB' = h_B$. Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна длине отрезка $A'B'$, то есть $A'B' = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A, B, A', B'$. Эта плоскость перпендикулярна плоскости $\alpha$. В этой плоскости отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны $A'B'$.

отрезок AB не пересекает

В этом случае точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Построим прямую, проходящую через точку $B$ параллельно $A'B'$ до пересечения с прямой $AA'$ в точке $C$. Тогда фигура $A'B'BC$ является прямоугольником, поскольку $AA' \parallel BB'$ (обе перпендикулярны $\alpha$), а $BC \parallel A'B'$. Следовательно, $BC = A'B' = 12 \text{ см}$ и $CC' = BB'$. Длина отрезка $AC$ будет равна разности расстояний точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$: $AC = |AA' - BB'| = |h_A - h_B|$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Расстояние $AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = (h_A - h_B)^2 + (A'B')^2$

$AB = \sqrt{(h_A - h_B)^2 + (A'B')^2}$

Подставим числовые значения:

$h_A - h_B = 12.5 \text{ см} - 3.5 \text{ см} = 9 \text{ см}$

$A'B' = 12 \text{ см}$

$AB = \sqrt{(9 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2} = \sqrt{81 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2} = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см

пересекает α

В этом случае точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$. Построим прямую, проходящую через точку $A$ параллельно $A'B'$ до пересечения с прямой $BB'$ (или её продолжением) в точке $K$. Тогда фигура $AA'B'K$ является прямоугольником. Следовательно, $AK = A'B' = 12 \text{ см}$. Длина отрезка $BK$ будет равна сумме расстояний точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$: $BK = AA' + BB' = h_A + h_B$. Треугольник $AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. Расстояние $AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AK^2 + BK^2$

$AB^2 = (A'B')^2 + (h_A + h_B)^2$

$AB = \sqrt{(A'B')^2 + (h_A + h_B)^2}$

Подставим числовые значения:

$h_A + h_B = 12.5 \text{ см} + 3.5 \text{ см} = 16 \text{ см}$

$A'B' = 12 \text{ см}$

$AB = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (16 \text{ см})^2} = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 256 \text{ см}^2} = \sqrt{400 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см

9. Дан треугольник с координатами вершин $A(4; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$. Вершина $C$ треугольника лежит на положительной полуоси $Oz$. Найдите длину медианы $CM$, если $\frac{AB^2}{CB^2} = \frac{2}{5}$.

Дано:

Координаты вершин треугольника: $A(4; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$.

Вершина $C$ лежит на положительной полуоси $Oz$, следовательно, ее координаты $C(0; 0; z_C)$, где $z_C > 0$.

Отношение квадратов длин сторон: $\frac{AB^2}{CB^2} = \frac{2}{5}$.

$CM$ - медиана треугольника $ABC$.

Найти:

Длину медианы $CM$.

Решение:

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$. Расстояние между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

$AB^2 = (0-4)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2 = (-4)^2 + 4^2 + 0^2 = 16 + 16 + 0 = 32$.

2. Найдем квадрат длины стороны $CB$. Координаты $C(0; 0; z_C)$ и $B(0; 4; 0)$.

$CB^2 = (0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-z_C)^2 = 0^2 + 4^2 + (-z_C)^2 = 16 + z_C^2$.

3. Используем данное отношение для нахождения $z_C$:

$\frac{AB^2}{CB^2} = \frac{2}{5}$

$\frac{32}{16 + z_C^2} = \frac{2}{5}$

Перемножим крест-накрест:

$5 \times 32 = 2 \times (16 + z_C^2)$

$160 = 32 + 2z_C^2$

$128 = 2z_C^2$

$z_C^2 = \frac{128}{2}$

$z_C^2 = 64$

Поскольку вершина $C$ лежит на положительной полуоси $Oz$, $z_C > 0$.

$z_C = \sqrt{64} = 8$.

Таким образом, координаты вершины $C$ равны $C(0; 0; 8)$.

4. Найдем координаты точки $M$. Так как $CM$ является медианой, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ вычисляются по формуле $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$.

Координаты $A(4; 0; 0)$ и $B(0; 4; 0)$.

$M\left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M\left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}, \frac{0}{2}\right) = M(2; 2; 0)$.

5. Вычислим длину медианы $CM$. Координаты $C(0; 0; 8)$ и $M(2; 2; 0)$.

$CM = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (0-8)^2}$

$CM = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2}$

$CM = \sqrt{4 + 4 + 64}$

$CM = \sqrt{72}$

Упростим выражение $\sqrt{72}$:

$CM = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Ответ:

Длина медианы $CM$ равна $6\sqrt{2}$.

10. Через сторону $AD$ прямоугольника $ABCD$ со сторонами 2 дм и 4 дм проведена плоскость $\alpha$. Ортогональная проекция прямоугольника на плоскость $\alpha$ – квадрат. Найдите угол наклона прямой $CD$ к плоскости $\alpha$.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Длины сторон прямоугольника: $L_1 = 2$ дм, $L_2 = 4$ дм.

Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AD$.

Ортогональная проекция прямоугольника $ABCD$ на плоскость $\alpha$ является квадратом.

Перевод в СИ:

$L_1 = 2$ дм $= 0.2$ м

$L_2 = 4$ дм $= 0.4$ м

Найти:

Угол наклона прямой $CD$ к плоскости $\alpha$ ($\phi$).

Решение:

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AD$ и $CD$.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AD$. Это означает, что сторона $AD$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Ортогональная проекция прямоугольника $ABCD$ на плоскость $\alpha$ - это фигура $AD C'B'$, где $C'$ и $B'$ - ортогональные проекции вершин $C$ и $B$ соответственно на плоскость $\alpha$.

По условию, проекция $AD C'B'$ является квадратом. Это означает, что все стороны этого квадрата равны, то есть $AD = DC' = C'B' = B'A = X$, где $X$ - сторона квадрата.

Так как $AD$ является одной из сторон прямоугольника, то $AD$ может быть либо $2$ дм, либо $4$ дм.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $AD = 4$ дм. Тогда другая сторона прямоугольника $CD = 2$ дм.

Если $AD = 4$ дм, то сторона квадрата-проекции равна $4$ дм. Следовательно, $DC' = 4$ дм.

Однако, $DC'$ является ортогональной проекцией отрезка $CD$. Длина ортогональной проекции отрезка на плоскость не может быть больше длины самого отрезка. В данном случае, $CD = 2$ дм, а $DC' = 4$ дм, что противоречит свойству ортогональной проекции ($DC' > CD$). Значит, этот случай невозможен.

2. Пусть $AD = 2$ дм. Тогда другая сторона прямоугольника $CD = 4$ дм.

Если $AD = 2$ дм, то сторона квадрата-проекции равна $2$ дм. Следовательно, $DC' = 2$ дм.

В этом случае $CD = 4$ дм, а ее проекция $DC' = 2$ дм. Это согласуется со свойством ортогональной проекции ($DC' \le CD$).

Таким образом, мы имеем:

$CD = 4$ дм (длина стороны прямоугольника)

$DC' = 2$ дм (длина проекции стороны $CD$ на плоскость $\alpha$)

Угол наклона прямой $CD$ к плоскости $\alpha$ - это угол между прямой $CD$ и ее ортогональной проекцией $DC'$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот угол как $\phi = \angle CDC'$.

Рассмотрим треугольник $CDC'$. Поскольку $C'$ является ортогональной проекцией точки $C$ на плоскость $\alpha$, то отрезок $CC'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе прямой $DC'$.

Следовательно, треугольник $CDC'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C'$.

В прямоугольном треугольнике $CDC'$:

• Гипотенуза $CD = 4$ дм.
• Катет $DC' = 2$ дм (прилежащий к углу $\phi$).

Используем определение косинуса угла:

$\cos(\phi) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(\phi) = \frac{DC'}{CD}$

$\cos(\phi) = \frac{2 \text{ дм}}{4 \text{ дм}}$

$\cos(\phi) = \frac{1}{2}$

Чтобы найти угол $\phi$, воспользуемся функцией арккосинус:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

Известно, что $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

$\phi = 60^\circ$

Ответ:

$60^\circ$

11. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точки M и N – середины его ребер CB и $A_1B_1$, соответственно, $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$, $\vec{DD_1} = \vec{c}$. Выразите через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ вектор:

а) $\vec{DN}$

б) $\vec{A_1M}$

в) $\vec{MN}$

г) $\vec{D_1B}$

д) $\vec{CA_1}$

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $M$ — середина ребра $CB$.

Точка $N$ — середина ребра $A_1B_1$.

Векторы: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$, $\vec{DD_1} = \vec{c}$.

Найти:

Выразить через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ векторы: а) $\vec{DN}$; б) $\vec{A_1M}$; в) $\vec{MN}$; г) $\vec{D_1B}$; д) $\vec{CA_1}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также свойствами параллелепипеда и середин отрезков. В параллелепипеде противоположные грани являются параллелограммами, а параллельные рёбра равны по длине и параллельны, то есть соответствуют равным векторам.

Определим векторы, соответствующие основным рёбрам, исходя из данных:

• $\vec{DA} = \vec{a}$
• $\vec{DC} = \vec{b}$
• $\vec{DD_1} = \vec{c}$

• $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$
• $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{b}$
• $\vec{D_1D} = -\vec{DD_1} = -\vec{c}$
• $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$)
• $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{a}$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$)
• $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{b}$
• $\vec{B_1C_1} = \vec{BC} = -\vec{a}$
• $\vec{C_1D_1} = \vec{CD} = -\vec{b}$
• $\vec{A_1D_1} = \vec{AD} = -\vec{a}$
• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$

Найдём радиус-векторы вершин относительно точки $D$ (условно принимаем $D$ за начало координат, $\vec{D} = \vec{0}$):

• $\vec{A} = \vec{DA} = \vec{a}$
• $\vec{C} = \vec{DC} = \vec{b}$
• $\vec{B} = \vec{DA} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{D_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$
• $\vec{A_1} = \vec{A} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{BB_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{CC_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь найдём радиус-векторы точек $M$ и $N$.

$M$ — середина $CB$.$\vec{M} = \vec{C} + \frac{1}{2}\vec{CB}$.Мы знаем $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{a}$.Значит, $\vec{M} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.

$N$ — середина $A_1B_1$.$\vec{N} = \vec{A_1} + \frac{1}{2}\vec{A_1B_1}$.Мы знаем $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{b}$.Значит, $\vec{N} = (\vec{a} + \vec{c}) + \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$.

а) $\vec{DN}$

Вектор $\vec{DN}$ является радиус-вектором точки $N$ относительно точки $D$ (начала координат).

$\vec{DN} = \vec{N} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: $\vec{DN} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

б) $\vec{A_1M}$

Вектор $\vec{A_1M}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $M$ и точки $A_1$:

$\vec{A_1M} = \vec{M} - \vec{A_1} = \left(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\right) - (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{a} - \vec{c} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{A_1M} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

в) $\vec{MN}$

Вектор $\vec{MN}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $N$ и точки $M$:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}\right) - \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\right) = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{b} + \vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

г) $\vec{D_1B}$

Вектор $\vec{D_1B}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $B$ и точки $D_1$:

$\vec{D_1B} = \vec{B} - \vec{D_1} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{D_1B} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

д) $\vec{CA_1}$

Вектор $\vec{CA_1}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $A_1$ и точки $C$:

$\vec{CA_1} = \vec{A_1} - \vec{C} = (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: $\vec{CA_1} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Уровень В

12. На одной из трибун спорткомплекса «Барыс Арена» лестница состоит из $n$ ступенек, высота каждой из которых равна $h$. Составьте формулу для нахождения длины $l$ перил вдоль этой лестницы, если угол наклона их к основанию равен $\alpha$.

Спорткомплекс «Барыс Арена», г. Нур-Султан

Дано:

количество ступенек: $n$
высота каждой ступеньки: $h$
угол наклона перил к основанию: $\alpha$

Найти:

длина перил: $l$

Решение

общая высота лестницы $H$ равна произведению количества ступенек на высоту каждой ступеньки:

$H = n \cdot h$

перила образуют гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где общая высота лестницы $H$ является противолежащим катетом к углу наклона $\alpha$, а длина перил $l$ - гипотенузой.

используем тригонометрическое соотношение для синуса угла:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

в нашем случае:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{l}$

выразим длину перил $l$ из этого соотношения:

$l = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

подставим выражение для $H$:

$l = \frac{n \cdot h}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $l = \frac{n \cdot h}{\sin(\alpha)}$