Номер 4, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

4. a) Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника, пересечь третью его сторону?

б) Имеются две плоскости, каждая из которых параллельна одной и той же прямой. Каково может быть взаимное расположение этих плоскостей?

а) Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника, пересечь третью его сторону?

Да, может. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина стороны $AB$, а $N$ – середина стороны $AC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника. По теореме о средней линии, $MN$ параллельна третьей стороне $BC$, то есть $MN \parallel BC$. Плоскость, проходящая через середины $M$ и $N$, содержит линию $MN$.

Если плоскость, о которой идет речь, совпадает с плоскостью, в которой лежит треугольник $ABC$, то эта плоскость содержит все стороны треугольника, включая третью сторону $BC$. В таком случае, плоскость "пересекает" третью сторону, так как она содержит ее целиком.

Если же рассматриваемая плоскость не совпадает с плоскостью треугольника $ABC$, то, поскольку она содержит линию $MN$, которая параллельна $BC$, сама плоскость будет параллельна стороне $BC$. В этом случае плоскость не пересечет третью сторону $BC$.

Так как вопрос "Может ли?", то одного положительного примера достаточно.

Ответ: Да, может.

б) Имеются две плоскости, каждая из которых параллельна одной и той же прямой. Каково может быть взаимное расположение этих плоскостей?

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, и прямая $l$. По условию, $\alpha \parallel l$ и $\beta \parallel l$. Возможны следующие взаимные расположения плоскостей:

1. Плоскости параллельны.

   Это может быть случай, когда плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны и не совпадают. Например, если $l$ – это ось $x$, то плоскость $y=0$ (плоскость $xz$) параллельна $l$, и плоскость $y=1$ также параллельна $l$. Эти две плоскости параллельны между собой.

   Случай, когда плоскости совпадают, также является частным случаем параллельности. Если $\alpha = \beta$, то очевидно, что $\alpha \parallel l$ и $\beta \parallel l$ выполняются одновременно.

2. Плоскости пересекаются.

   Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, то их пересечение образует прямую. Обозначим эту прямую $m$. Докажем, что в этом случае прямая $m$ должна быть параллельна прямой $l$.

   Пусть $\vec{u}$ – направляющий вектор прямой $l$.Пусть $\vec{n}_{\alpha}$ – нормальный вектор плоскости $\alpha$. Так как $\alpha \parallel l$, то $\vec{n}_{\alpha} \perp \vec{u}$, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{u} = 0$.Пусть $\vec{n}_{\beta}$ – нормальный вектор плоскости $\beta$. Так как $\beta \parallel l$, то $\vec{n}_{\beta} \perp \vec{u}$, то есть $\vec{n}_{\beta} \cdot \vec{u} = 0$.

   Направляющий вектор прямой пересечения $m$ перпендикулярен обоим нормальным векторам $\vec{n}_{\alpha}$ и $\vec{n}_{\beta}$, то есть он параллелен их векторному произведению: $\vec{v}_m \parallel \vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{\beta}$.Поскольку $\vec{u}$ перпендикулярен как $\vec{n}_{\alpha}$, так и $\vec{n}_{\beta}$, вектор $\vec{u}$ также параллелен $\vec{n}_{\alpha} \times \vec{n}_{\beta}$.Отсюда следует, что направляющий вектор прямой $m$ параллелен направляющему вектору прямой $l$, то есть $\vec{v}_m \parallel \vec{u}$. Таким образом, прямая пересечения $m$ параллельна прямой $l$.

   Пример: Пусть $l$ – это ось $x$. Плоскость $y=0$ (плоскость $xz$) параллельна $l$. Плоскость $z=0$ (плоскость $xy$) также параллельна $l$. Эти две плоскости пересекаются по оси $x$, которая является прямой $l$. Другой пример: плоскость $y=1$ параллельна $l$, плоскость $z=1$ также параллельна $l$. Они пересекаются по прямой $y=1, z=1$, которая параллельна $l$.

Ответ: Плоскости могут быть параллельными (включая случай совпадения) или пересекаться по прямой, которая параллельна данной прямой.