Номер 3, страница 12 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

3. Каково взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если прямая $a$:

а) пересекает обе эти плоскости;

б) пересекает одну плоскость и параллельна другой плоскости;

в) пересекает одну плоскость и принадлежит другой плоскости?

a) пересекает обе эти плоскости
Решение: Если прямая $a$ пересекает обе плоскости $\alpha$ и $\beta$, это означает, что у прямой $a$ есть по крайней мере одна общая точка с каждой плоскостью, и прямая $a$ не лежит ни в одной из них.
Возможны два случая:
1. Если прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в разных точках $P_\alpha$ и $P_\beta$ соответственно ($P_\alpha \in \alpha, P_\beta \in \beta, P_\alpha \neq P_\beta$). В этом случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут быть параллельными (например, прямая, проходящая сквозь пол и потолок).
2. Если прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в одной и той же точке $P$ ($P \in \alpha$ и $P \in \beta$). В этом случае плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $P$, а значит, они пересекаются. Также плоскости могут пересекаться, если точки $P_\alpha$ и $P_\beta$ различны.
Таким образом, если прямая $a$ пересекает обе плоскости (и они не совпадают, что подразумевается формулировкой "обе эти плоскости"), то эти плоскости могут быть как параллельными, так и пересекающимися.
Ответ: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ могут быть параллельными или пересекающимися.

б) пересекает одну плоскость и параллельна другой плоскости
Решение: Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P_\alpha$, и прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$. По определению, "пересекает" означает, что прямая $a$ имеет ровно одну общую точку с плоскостью $\alpha$ и не содержится в ней ($a \cap \alpha = \{P_\alpha\}$ и $a \not\subset \alpha$). По определению, "параллельна" означает, что прямая $a$ не имеет общих точек с плоскостью $\beta$ ($a \cap \beta = \emptyset$).
Рассмотрим возможные взаимные расположения плоскостей $\alpha$ и $\beta$:
1. Если бы плоскости $\alpha$ и $\beta$ были параллельны. Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$, и $\alpha \parallel \beta$, то прямая $a$ должна быть параллельна и плоскости $\alpha$. Однако по условию прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, что означает, что она не параллельна $\alpha$. Получаем противоречие. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут быть параллельными.
2. Если бы плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадали ($\alpha = \beta$). Тогда условие, что прямая $a$ пересекает $\alpha$, означало бы, что $a$ пересекает $\beta$. Это противоречит условию, что $a$ параллельна $\beta$ (то есть не имеет с ней общих точек). Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут совпадать.
Поскольку плоскости не могут быть параллельными и не могут совпадать, единственным возможным взаимным расположением является их пересечение.
Ответ: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

в) пересекает одну плоскость и принадлежит другой плоскости?
Решение: Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P_\alpha$, и прямая $a$ принадлежит плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).
По определению, "пересекает" означает, что прямая $a$ имеет ровно одну общую точку с плоскостью $\alpha$ и не содержится в ней ($a \cap \alpha = \{P_\alpha\}$ и $a \not\subset \alpha$).
Поскольку точка $P_\alpha$ является общей точкой для прямой $a$ и плоскости $\alpha$ ($P_\alpha \in a$ и $P_\alpha \in \alpha$), а прямая $a$ полностью содержится в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то точка $P_\alpha$ также принадлежит плоскости $\beta$.
Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $P_\alpha$. Это означает, что они не могут быть параллельными.
Рассмотрим, могут ли плоскости совпадать ($\alpha = \beta$). Если бы они совпадали, то условие "прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$" (что подразумевает $a \not\subset \alpha$) и условие "прямая $a$ принадлежит плоскости $\beta$" (то есть $a \subset \alpha$) привели бы к противоречию ($a \not\subset \alpha$ и $a \subset \alpha$ одновременно невозможно). Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут совпадать.
Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ являются различными и имеют общую точку, они должны пересекаться.
Ответ: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.