Номер 10, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

10. Через сторону $AD$ прямоугольника $ABCD$ со сторонами 2 дм и 4 дм проведена плоскость $\alpha$. Ортогональная проекция прямоугольника на плоскость $\alpha$ – квадрат. Найдите угол наклона прямой $CD$ к плоскости $\alpha$.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Длины сторон прямоугольника: $L_1 = 2$ дм, $L_2 = 4$ дм.

Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AD$.

Ортогональная проекция прямоугольника $ABCD$ на плоскость $\alpha$ является квадратом.

Перевод в СИ:

$L_1 = 2$ дм $= 0.2$ м

$L_2 = 4$ дм $= 0.4$ м

Найти:

Угол наклона прямой $CD$ к плоскости $\alpha$ ($\phi$).

Решение:

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AD$ и $CD$.

По условию, плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AD$. Это означает, что сторона $AD$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Ортогональная проекция прямоугольника $ABCD$ на плоскость $\alpha$ - это фигура $AD C'B'$, где $C'$ и $B'$ - ортогональные проекции вершин $C$ и $B$ соответственно на плоскость $\alpha$.

По условию, проекция $AD C'B'$ является квадратом. Это означает, что все стороны этого квадрата равны, то есть $AD = DC' = C'B' = B'A = X$, где $X$ - сторона квадрата.

Так как $AD$ является одной из сторон прямоугольника, то $AD$ может быть либо $2$ дм, либо $4$ дм.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $AD = 4$ дм. Тогда другая сторона прямоугольника $CD = 2$ дм.

Если $AD = 4$ дм, то сторона квадрата-проекции равна $4$ дм. Следовательно, $DC' = 4$ дм.

Однако, $DC'$ является ортогональной проекцией отрезка $CD$. Длина ортогональной проекции отрезка на плоскость не может быть больше длины самого отрезка. В данном случае, $CD = 2$ дм, а $DC' = 4$ дм, что противоречит свойству ортогональной проекции ($DC' > CD$). Значит, этот случай невозможен.

2. Пусть $AD = 2$ дм. Тогда другая сторона прямоугольника $CD = 4$ дм.

Если $AD = 2$ дм, то сторона квадрата-проекции равна $2$ дм. Следовательно, $DC' = 2$ дм.

В этом случае $CD = 4$ дм, а ее проекция $DC' = 2$ дм. Это согласуется со свойством ортогональной проекции ($DC' \le CD$).

Таким образом, мы имеем:

$CD = 4$ дм (длина стороны прямоугольника)

$DC' = 2$ дм (длина проекции стороны $CD$ на плоскость $\alpha$)

Угол наклона прямой $CD$ к плоскости $\alpha$ - это угол между прямой $CD$ и ее ортогональной проекцией $DC'$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот угол как $\phi = \angle CDC'$.

Рассмотрим треугольник $CDC'$. Поскольку $C'$ является ортогональной проекцией точки $C$ на плоскость $\alpha$, то отрезок $CC'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе прямой $DC'$.

Следовательно, треугольник $CDC'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C'$.

В прямоугольном треугольнике $CDC'$:

• Гипотенуза $CD = 4$ дм.
• Катет $DC' = 2$ дм (прилежащий к углу $\phi$).

Используем определение косинуса угла:

$\cos(\phi) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(\phi) = \frac{DC'}{CD}$

$\cos(\phi) = \frac{2 \text{ дм}}{4 \text{ дм}}$

$\cos(\phi) = \frac{1}{2}$

Чтобы найти угол $\phi$, воспользуемся функцией арккосинус:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$

Известно, что $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

$\phi = 60^\circ$

Ответ:

$60^\circ$