Номер 11, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

11. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точки M и N – середины его ребер CB и $A_1B_1$, соответственно, $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$, $\vec{DD_1} = \vec{c}$. Выразите через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ вектор:

а) $\vec{DN}$

б) $\vec{A_1M}$

в) $\vec{MN}$

г) $\vec{D_1B}$

д) $\vec{CA_1}$

Дано:

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $M$ — середина ребра $CB$.

Точка $N$ — середина ребра $A_1B_1$.

Векторы: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DC} = \vec{b}$, $\vec{DD_1} = \vec{c}$.

Найти:

Выразить через векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ векторы: а) $\vec{DN}$; б) $\vec{A_1M}$; в) $\vec{MN}$; г) $\vec{D_1B}$; д) $\vec{CA_1}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также свойствами параллелепипеда и середин отрезков. В параллелепипеде противоположные грани являются параллелограммами, а параллельные рёбра равны по длине и параллельны, то есть соответствуют равным векторам.

Определим векторы, соответствующие основным рёбрам, исходя из данных:

• $\vec{DA} = \vec{a}$
• $\vec{DC} = \vec{b}$
• $\vec{DD_1} = \vec{c}$

• $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$
• $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{b}$
• $\vec{D_1D} = -\vec{DD_1} = -\vec{c}$
• $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$)
• $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{a}$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABCD$)
• $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{b}$
• $\vec{B_1C_1} = \vec{BC} = -\vec{a}$
• $\vec{C_1D_1} = \vec{CD} = -\vec{b}$
• $\vec{A_1D_1} = \vec{AD} = -\vec{a}$
• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$

Найдём радиус-векторы вершин относительно точки $D$ (условно принимаем $D$ за начало координат, $\vec{D} = \vec{0}$):

• $\vec{A} = \vec{DA} = \vec{a}$
• $\vec{C} = \vec{DC} = \vec{b}$
• $\vec{B} = \vec{DA} + \vec{AB} = \vec{a} + \vec{b}$
• $\vec{D_1} = \vec{DD_1} = \vec{c}$
• $\vec{A_1} = \vec{A} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{BB_1} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
• $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{CC_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь найдём радиус-векторы точек $M$ и $N$.

$M$ — середина $CB$.$\vec{M} = \vec{C} + \frac{1}{2}\vec{CB}$.Мы знаем $\vec{CB} = \vec{DA} = \vec{a}$.Значит, $\vec{M} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.

$N$ — середина $A_1B_1$.$\vec{N} = \vec{A_1} + \frac{1}{2}\vec{A_1B_1}$.Мы знаем $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{b}$.Значит, $\vec{N} = (\vec{a} + \vec{c}) + \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$.

а) $\vec{DN}$

Вектор $\vec{DN}$ является радиус-вектором точки $N$ относительно точки $D$ (начала координат).

$\vec{DN} = \vec{N} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: $\vec{DN} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

б) $\vec{A_1M}$

Вектор $\vec{A_1M}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $M$ и точки $A_1$:

$\vec{A_1M} = \vec{M} - \vec{A_1} = \left(\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}\right) - (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{a} - \vec{c} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{A_1M} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

в) $\vec{MN}$

Вектор $\vec{MN}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $N$ и точки $M$:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}\right) - \left(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\right) = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{b} + \vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}$

г) $\vec{D_1B}$

Вектор $\vec{D_1B}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $B$ и точки $D_1$:

$\vec{D_1B} = \vec{B} - \vec{D_1} = (\vec{a} + \vec{b}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Ответ: $\vec{D_1B} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

д) $\vec{CA_1}$

Вектор $\vec{CA_1}$ можно найти как разность радиус-векторов точки $A_1$ и точки $C$:

$\vec{CA_1} = \vec{A_1} - \vec{C} = (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: $\vec{CA_1} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$