Номер 6, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

6. Дан правильный шестиугольник $ABCDEK$ и проведен перпендикуляр $AH$ к его плоскости. Объясните, почему отрезки $HE$ и $DE$ взаимно перпендикулярны.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEK$.

Перпендикуляр $AH$ к плоскости шестиугольника.

Найти:

Объяснить, почему отрезки $HE$ и $DE$ взаимно перпендикулярны.

Решение:

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEK$. Пусть длина его стороны равна $a$. В правильном шестиугольнике каждая сторона равна радиусу описанной окружности. Длинная диагональ правильного шестиугольника, соединяющая противоположные вершины (например, $AD$), проходит через центр и имеет длину $2a$. Короткая диагональ правильного шестиугольника, соединяющая вершины через одну (например, $AE$), имеет длину $a\sqrt{3}$. Это можно показать, рассмотрев треугольник, образованный центром шестиугольника $O$ и двумя вершинами $A$ и $E$. Угол $\angle AOE$ равен $120^\circ$ (поскольку он охватывает две стороны шестиугольника, $2 \times 60^\circ = 120^\circ$), а стороны $OA = OE = a$. По теореме косинусов для $\triangle AOE$: $AE^2 = OA^2 + OE^2 - 2 \cdot OA \cdot OE \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$, откуда $AE = a\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник $ADE$, который лежит в плоскости шестиугольника. Его стороны имеют следующие длины:

• $DE = a$ (сторона правильного шестиугольника).

• $AE = a\sqrt{3}$ (короткая диагональ правильного шестиугольника).

• $AD = 2a$ (длинная диагональ правильного шестиугольника).

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. Дано, что прямая $AH$ перпендикулярна плоскости шестиугольника $ABCDEK$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. Отрезок $AE$ является наклонной к плоскости шестиугольника. Отрезок $HE$ является проекцией наклонной $AE$ на плоскость шестиугольника (так как $H$ - основание перпендикуляра из $A$, а $E$ лежит в плоскости). Отрезок $DE$ является прямой, лежащей в плоскости шестиугольника. Мы уже доказали, что наклонная $AE$ перпендикулярна прямой $DE$, которая лежит в плоскости ($AE \perp DE$). Согласно теореме о трех перпендикулярах: "Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной на данную плоскость". В нашем случае:

1. Прямая $AH$ перпендикулярна плоскости шестиугольника.

2. $AE$ – наклонная к этой плоскости.

3. $HE$ – проекция наклонной $AE$ на плоскость.

4. $DE$ – прямая, лежащая в плоскости шестиугольника.

5. Мы доказали, что наклонная $AE$ перпендикулярна прямой $DE$ ($AE \perp DE$).

Ответ:

Отрезки $HE$ и $DE$ взаимно перпендикулярны. Это следует из того, что в правильном шестиугольнике отрезок $AE$ (являющийся наклонной к плоскости) перпендикулярен отрезку $DE$ (что доказывается по обратной теореме Пифагора для $\triangle ADE$), а по теореме о трех перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, то и ее проекция (отрезок $HE$) перпендикулярна этой же прямой ($DE$).