Номер 8, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

8. Расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ соответственно равны 12,5 см и 3,5 см. Длина проекции отрезка $AB$ на эту плоскость равна 12 см. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$. Рассмотрите случаи, когда отрезок $AB$ не пересекает или пересекает $\alpha$.

Дано

$h_A = 12.5 \text{ см}$

$h_B = 3.5 \text{ см}$

$AB' = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$h_A = 0.125 \text{ м}$

$h_B = 0.035 \text{ м}$

$AB' = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$AB$

Решение

Пусть $A'$ и $B'$ — ортогональные проекции точек $A$ и $B$ на плоскость $\alpha$ соответственно. Тогда $AA' = h_A$ и $BB' = h_B$. Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна длине отрезка $A'B'$, то есть $A'B' = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $A, B, A', B'$. Эта плоскость перпендикулярна плоскости $\alpha$. В этой плоскости отрезки $AA'$ и $BB'$ перпендикулярны $A'B'$.

отрезок AB не пересекает

В этом случае точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Построим прямую, проходящую через точку $B$ параллельно $A'B'$ до пересечения с прямой $AA'$ в точке $C$. Тогда фигура $A'B'BC$ является прямоугольником, поскольку $AA' \parallel BB'$ (обе перпендикулярны $\alpha$), а $BC \parallel A'B'$. Следовательно, $BC = A'B' = 12 \text{ см}$ и $CC' = BB'$. Длина отрезка $AC$ будет равна разности расстояний точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$: $AC = |AA' - BB'| = |h_A - h_B|$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Расстояние $AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = (h_A - h_B)^2 + (A'B')^2$

$AB = \sqrt{(h_A - h_B)^2 + (A'B')^2}$

Подставим числовые значения:

$h_A - h_B = 12.5 \text{ см} - 3.5 \text{ см} = 9 \text{ см}$

$A'B' = 12 \text{ см}$

$AB = \sqrt{(9 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2} = \sqrt{81 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2} = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см

пересекает α

В этом случае точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от плоскости $\alpha$. Построим прямую, проходящую через точку $A$ параллельно $A'B'$ до пересечения с прямой $BB'$ (или её продолжением) в точке $K$. Тогда фигура $AA'B'K$ является прямоугольником. Следовательно, $AK = A'B' = 12 \text{ см}$. Длина отрезка $BK$ будет равна сумме расстояний точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$: $BK = AA' + BB' = h_A + h_B$. Треугольник $AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. Расстояние $AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AK^2 + BK^2$

$AB^2 = (A'B')^2 + (h_A + h_B)^2$

$AB = \sqrt{(A'B')^2 + (h_A + h_B)^2}$

Подставим числовые значения:

$h_A + h_B = 12.5 \text{ см} + 3.5 \text{ см} = 16 \text{ см}$

$A'B' = 12 \text{ см}$

$AB = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (16 \text{ см})^2} = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 256 \text{ см}^2} = \sqrt{400 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

Ответ: 20 см