Номер 7, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

перпендикулярна.

7. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2 м, пересечены прямой, образующей с каждой из этих плоскостей угол $45^\circ$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.

7. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно 2 м, пересечены прямой, образующей с каждой из этих плоскостей угол 45°. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.

Дано

Расстояние между параллельными плоскостями: $h = 2 \, \text{м}$

Угол между прямой и плоскостью: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в систему СИ: Данные уже представлены в системе СИ (метры, градусы).

Найти:

Длину отрезка прямой, заключенного между плоскостями: $L$

Решение

Пусть $L$ — длина отрезка прямой, заключенного между двумя параллельными плоскостями. Пусть $h$ — это расстояние между этими плоскостями.

Прямая, пересекающая две параллельные плоскости, образует одинаковый угол с каждой из них. Мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный отрезком прямой между плоскостями, перпендикуляром от точки пересечения на одной плоскости до другой плоскости, и проекцией отрезка на одну из плоскостей.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является искомый отрезок прямой $L$. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен расстоянию между плоскостями $h$.

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Подставляем наши обозначения:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

Из этого соотношения выразим $L$:

$L = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим числовые значения:

$h = 2 \, \text{м}$

$\alpha = 45^\circ$

Известно, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$L = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$L = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2}}$

$L = \frac{4}{\sqrt{2}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$L = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$L = \frac{4\sqrt{2}}{2}$

$L = 2\sqrt{2} \, \text{м}$

Ответ:

$2\sqrt{2} \, \text{м}$