Страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

35. a) Чем отличается четырехугольная прямая призма от прямого параллелепипеда?

б) Есть ли различия между прямым и прямоугольным параллелепипедами?

а) Чем отличается четырехугольная прямая призма от прямого параллелепипеда?

Четырехугольная прямая призма — это призма, у которой основаниями являются четырехугольники, а боковые грани перпендикулярны основаниям (являются прямоугольниками). При этом основания (четырехугольники) могут быть произвольными: трапециями, невыпуклыми четырехугольниками или даже произвольными четырехугольниками без параллельных сторон. Прямой параллелепипед — это частный случай четырехугольной прямой призмы, у которой основаниями являются именно параллелограммы. Поскольку прямой параллелепипед является прямым, его боковые грани также являются прямоугольниками. Таким образом, основное отличие состоит в том, что у прямого параллелепипеда основания обязательно являются параллелограммами, тогда как у четырехугольной прямой призмы основания могут быть любыми четырехугольниками. Из этого следует, что прямой параллелепипед всегда является четырехугольной прямой призмой, но не всякая четырехугольная прямая призма является прямым параллелепипедом.

Ответ:

Различие заключается в форме основания. У четырехугольной прямой призмы основанием может быть любой четырехугольник, в то время как у прямого параллелепипеда основанием обязательно является параллелограмм.

б) Есть ли различия между прямым и прямоугольным параллелепипедами?

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что его боковые грани являются прямоугольниками. Основаниями прямого параллелепипеда являются параллелограммы (не обязательно прямоугольники). Прямоугольный параллелепипед (также называемый кубоидом) — это параллелепипед, у которого все шесть граней являются прямоугольниками. Это означает, что его основаниями являются прямоугольники (частный случай параллелограмма), а боковые грани также являются прямоугольниками (что автоматически делает его прямым). Следовательно, прямоугольный параллелепипед является частным случаем прямого параллелепипеда, когда его основаниями являются прямоугольники. Если основания прямого параллелепипеда являются параллелограммами, но не прямоугольниками (например, ромбами, не являющимися квадратами), то он не будет прямоугольным параллелепипедом.

Ответ:

Да, различия есть. Прямой параллелепипед имеет боковые грани, перпендикулярные основаниям (т.е., боковые грани - прямоугольники), но его основаниями могут быть любые параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед — это частный случай прямого параллелепипеда, у которого все шесть граней являются прямоугольниками, то есть его основания также являются прямоугольниками.

36. Докажите, что если плоскости диагональных сечений прямого параллелепипеда перпендикулярны, то его основанием является ромб.

Дано:

Прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости диагональных сечений $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ перпендикулярны.

Найти:

Доказать, что основанием параллелепипеда является ромб.

Решение

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$.

Диагональными сечениями являются прямоугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

Обозначим $O$ точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания $ABCD$.

Обозначим $O_1$ точку пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Линией пересечения плоскостей диагональных сечений $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ является прямая $OO_1$.

Поскольку параллелепипед является прямым, его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Это означает, что $AA_1 \perp ABCD$.

Прямая $OO_1$ параллельна боковому ребру $AA_1$ (так как $OO_1$ соединяет центры параллельных граней, и следовательно, она перпендикулярна этим граням, то есть параллельна боковым рёбрам). Следовательно, $OO_1 \perp ABCD$.

Так как $OO_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $OO_1 \perp AC$ и $OO_1 \perp BD$.

Рассмотрим прямую $AC$. Она лежит в плоскости $ACC_1A_1$, проходит через точку $O$ на линии пересечения $OO_1$, и $AC \perp OO_1$.

Рассмотрим прямую $BD$. Она лежит в плоскости $BDD_1B_1$, проходит через точку $O$ на линии пересечения $OO_1$, и $BD \perp OO_1$.

По определению, угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, проведёнными в каждой плоскости перпендикулярно линии их пересечения через общую точку на этой линии.

Следовательно, угол между плоскостями $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$.

По условию задачи, плоскости диагональных сечений перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$.

Таким образом, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ основания $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $AC \perp BD$.

Основание параллелепипеда $ABCD$ является параллелограммом. Известно, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Ответ: Доказано, что если плоскости диагональных сечений прямого параллелепипеда перпендикулярны, то его основанием является ромб.

37. Верно ли, что:

а) число ребер любой призмы кратно 3;

б) сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна $360^\circ$ (рисунок 42);

в) все диагональные сечения правильной призмы равновелики?

Рисунок 42

a) число ребер любой призмы кратно 3;

Верно. Пусть основанием призмы является $n$-угольник. Тогда призма имеет две грани-основания (верхнее и нижнее), каждая из которых является $n$-угольником. Каждое основание имеет $n$ ребер. Кроме того, призма имеет $n$ боковых ребер, соединяющих соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Таким образом, общее количество ребер призмы равно $n$ (ребра верхнего основания) + $n$ (ребра нижнего основания) + $n$ (боковые ребра) = $3n$. Поскольку $n$ является целым числом (и $n \ge 3$ для призмы), то $3n$ всегда кратно 3.

Ответ: Верно.

б) сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы равна 360° (рисунок 42);

Верно. Двугранный угол при боковом ребре призмы – это угол между двумя смежными боковыми гранями. Величина этого угла равна внутреннему углу многоугольника, полученного в сечении призмы плоскостью, перпендикулярной всем боковым ребрам (так называемое нормальное сечение). Такое сечение является многоугольником, конгруэнтным основанию, если призма прямая, или другим многоугольником, если призма наклонная. Однако сумма внутренних углов любого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для четырехугольной призмы $n=4$. Следовательно, сумма двугранных углов при боковых ребрах равна $(4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Верно.

в) все диагональные сечения правильной призмы равновелики?

Неверно. Правильная призма – это прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники. Диагональное сечение призмы – это плоскость, проходящая через два несоседних боковых ребра. Каждое диагональное сечение является прямоугольником, одна сторона которого равна высоте призмы $h$ (длине бокового ребра), а другая сторона – диагонали основания призмы. Для того чтобы все диагональные сечения были равновелики, необходимо, чтобы все диагонали правильного многоугольника, лежащего в основании, были равны по длине.

Рассмотрим примеры: для правильной треугольной призмы диагональных сечений не существует, так как нет несоседних вершин. Для правильной четырехугольной призмы (прямой призмы с квадратным основанием) все диагонали квадрата равны между собой. Следовательно, все диагональные сечения будут конгруэнтны и равновелики. Однако для правильной шестиугольной призмы (прямой призмы с правильным шестиугольным основанием) существуют диагонали разной длины. Например, диагональ, соединяющая противолежащие вершины, имеет длину $2a$ (где $a$ – сторона шестиугольника), а диагональ, соединяющиеся вершины через одну, имеет длину $a\sqrt{3}$. Поскольку длины диагоналей основания не равны, площади диагональных сечений (равные произведению длины диагонали на высоту призмы $h$) будут различаться.

Таким образом, утверждение неверно для всех правильных призм в общем случае.

Ответ: Неверно.

Рисунок 42

38. Изготовьте модель правильной:

а) треугольной призмы, все ребра которой равны;

б) шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше ее высоты.

a) треугольной призмы, все ребра которой равны

Дано: Требуется изготовить модель правильной треугольной призмы, у которой все ребра (как ребра основания, так и боковые ребра) имеют одинаковую длину. Пусть эта общая длина ребра будет обозначена как $a$. Это означает, что основания призмы являются правильными (равносторонними) треугольниками со стороной $a$. Боковые грани призмы являются прямоугольниками. Поскольку высота призмы (длина бокового ребра) также равна $a$, а сторона основания боковой грани равна $a$, то боковые грани являются квадратами со стороной $a$.

Найти: Описание процесса изготовления модели правильной треугольной призмы с равными ребрами.

Решение:
Для создания физической модели такой призмы понадобятся материалы, которые можно вырезать и склеить, например, плотная бумага или картон, а также инструменты: ножницы, линейка, карандаш и клей.

1. Выберите удобную единицу длины для ребра призмы, например, $a = 6 \text{ см}$.

2. Начертите развертку призмы на выбранном материале. Развертка будет состоять из двух равносторонних треугольников (для оснований) и трех квадратов (для боковых граней).

3. Нарисуйте три квадрата со стороной $a$ в ряд, соприкасающихся боковыми сторонами. К верхней и нижней сторонам среднего квадрата (или к соответствующим сторонам других квадратов, если это удобнее для развертки) прикрепите равносторонние треугольники со стороной $a$. Убедитесь, что расположение треугольников позволит им стать основаниями призмы при складывании.

4. Добавьте небольшие клапаны (язычки) для склеивания вдоль тех ребер развертки, которые будут соединяться при сборке модели. Это обеспечит прочное соединение граней.

5. Аккуратно вырежьте начерченную развертку по внешнему контуру.

6. С помощью линейки и тупого предмета (например, не пишущей ручки, пустой шариковой ручки или обратной стороны лезвия ножа) аккуратно продавите линии сгиба по всем внутренним ребрам развертки. Это поможет сделать сгибы ровными и аккуратными, что важно для точности модели.

7. Сложите развертку по продавленным линиям сгиба. Нанесите клей на клапаны и тщательно склейте грани, формируя правильную треугольную призму. Убедитесь, что все соединения плотные и модель устойчива.

Ответ: Модель правильной треугольной призмы с равными ребрами изготавливается путем создания развертки, состоящей из двух равносторонних треугольников и трех квадратов, все со стороной, равной длине ребра призмы, с последующим вырезанием, складыванием по линиям сгиба и склеиванием клапанов.

б) шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше ее высоты

Дано: Требуется изготовить модель правильной шестиугольной призмы. Пусть сторона основания призмы будет $a_{осн}$, а ее высота — $H$. Согласно условию задачи, сторона основания вдвое меньше ее высоты, что математически выражается как $a_{осн} = H/2$, или $H = 2 \cdot a_{осн}$. Основания призмы представляют собой правильные шестиугольники со стороной $a_{осн}$. Боковые грани призмы являются прямоугольниками с размерами $a_{осн}$ (ширина) и $H$ (высота).

Найти: Описание процесса изготовления модели правильной шестиугольной призмы, где сторона основания вдвое меньше ее высоты.

Решение:
Для изготовления физической модели такой призмы потребуется плотный материал (например, картон), ножницы, линейка, карандаш и клей.

1. Выберите удобную длину для стороны основания, например, $a_{осн} = 4 \text{ см}$.

2. Вычислите высоту призмы, используя заданное соотношение: $H = 2 \cdot a_{осн} = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

3. Начертите развертку призмы на выбранном материале. Развертка будет включать два правильных шестиугольника (для оснований) и шесть прямоугольников (для боковых граней).

4. Нарисуйте шесть прямоугольников размером $a_{осн} \times H$ (в нашем примере $4 \text{ см} \times 8 \text{ см}$) в ряд, соприкасающихся длинными сторонами. К длинной стороне первого прямоугольника и к соответствующей длинной стороне последнего прямоугольника (или к любым двум подходящим сторонам, чтобы обеспечить замкнутость призмы) прикрепите правильные шестиугольники со стороной $a_{осн}$. Убедитесь, что при складывании развертки шестиугольники станут основаниями призмы.

5. Добавьте небольшие клапаны для склеивания вдоль тех ребер развертки, которые будут соединяться при сборке модели.

6. Аккуратно вырежьте начерченную развертку по внешнему контуру.

7. С помощью линейки и тупого предмета продавите линии сгиба по всем внутренним ребрам развертки. Это обеспечит ровные и четкие сгибы, необходимые для аккуратной модели.

8. Сложите развертку по продавленным линиям сгиба. Нанесите клей на клапаны и тщательно склейте грани, формируя правильную шестиугольную призму. Проследите, чтобы все соединения были прочными и модель имела правильную форму.

Ответ: Модель правильной шестиугольной призмы, у которой сторона основания вдвое меньше высоты, изготавливается путем создания развертки, состоящей из двух правильных шестиугольников со стороной $a_{осн}$ и шести прямоугольников размером $a_{осн} \times 2a_{осн}$, с последующим вырезанием, складыванием по линиям сгиба и склеиванием.

39. Существует ли пятигранник, каждая грань которого – треугольник?

Дано:

Многогранник является пятигранником ($F=5$).

Каждая грань многогранника является треугольником.

Перевод в СИ:

Данные величины не имеют единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Существует ли такой многогранник.

Решение:

1. Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, которая связывает количество вершин ($V$), ребер ($E$) и граней ($F$):

$V - E + F = 2$

2. По условию, многогранник является пятигранником, что означает, что количество граней $F = 5$.

3. Каждая грань многогранника является треугольником. Каждый треугольник имеет 3 ребра. Если мы просуммируем количество ребер по всем граням, то получим $3F$. Однако, каждое ребро многогранника является общим для двух граней. Следовательно, общее количество ребер $E$ будет вдвое меньше этой суммы:

$2E = 3F$

4. Подставим значение $F=5$ в полученное уравнение:

$2E = 3 \times 5$

$2E = 15$

$E = \frac{15}{2}$

$E = 7.5$

5. Количество ребер любого многогранника должно быть целым числом, поскольку ребра представляют собой дискретные элементы (отрезки). Полученное значение $E = 7.5$ не является целым числом.

6. Поскольку число ребер не может быть дробным, такой многогранник не может существовать.

Ответ:

Нет, не существует пятигранника, каждая грань которого – треугольник.

40. Изобразите многогранник, который получится, если от куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$ отрезать пирамиду $A_1AB_1D_1$. Верно ли, что у этого многогранника столько вершин, сколько и граней?

Для решения задачи, представим исходный куб и проанализируем изменения в количестве его вершин, граней и рёбер после удаления указанной пирамиды.

Изобразите многогранник, который получится, если от куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отрезать пирамиду $A_1ABD_1$.

Представим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ - нижняя грань, а $A_1B_1C_1D_1$ - верхняя грань, при этом $A_1$ находится над $A$, $B_1$ над $B$ и так далее.

Пирамида, которую отрезают, это тетраэдр $A_1ABD_1$. Его вершинами являются четыре вершины куба: $A_1$ (верхняя передняя левая), $A$ (нижняя передняя левая), $B$ (нижняя передняя правая) и $D_1$ (верхняя задняя левая).

Получившийся многогранник будет представлять собой исходный куб, из которого удален объем этого тетраэдра $A_1ABD_1$.

Визуально это можно представить так:

• Край $AA_1$ и $AB$ являются ребрами как куба, так и удаляемой пирамиды.
• Грани пирамиды: $\triangle A_1AB$, $\triangle A_1AD_1$, $\triangle ABD_1$, $\triangle A_1BD_1$.
• Грани $\triangle A_1AB$ и $\triangle A_1AD_1$ лежат на существующих гранях куба ($ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно). Эти части поверхности будут удалены, а исходные грани станут иметь другую форму.
• Грани $\triangle ABD_1$ и $\triangle A_1BD_1$ являются "новыми" гранями, которые образуются в результате среза внутри куба. Они представляют собой плоские срезы, образованные соединением соответствующих вершин.

В результате, многогранник будет выглядеть как куб, у которого "скошен" один из углов, но этот скос не является простым угловым срезом, поскольку он соединяет вершины из разных плоскостей куба ($A, B$ с нижней грани, $A_1, D_1$ с верхней грани).

Ответ: Многогранник будет представлять собой куб, из которого удален объем тетраэдра $A_1ABD_1$. Формально его можно описать как восьмивершинный многогранник с измененными поверхностями.

Верно ли, что у этого многогранника столько вершин, сколько и граней?

Для ответа на этот вопрос посчитаем количество вершин ($V$) и граней ($F$) у нового многогранника.

Количество вершин ($V$):

Исходный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет 8 вершин. Вершины удаляемой пирамиды ($A_1, A, B, D_1$) являются вершинами исходного куба. Когда объем пирамиды удаляется, эти вершины не исчезают, а остаются частью границы нового многогранника. Новые вершины в результате такого среза не образуются, так как плоскости среза проходят через существующие вершины куба.

Таким образом, количество вершин у получившегося многогранника останется таким же, как у исходного куба.

$V = 8$

Количество граней ($F$):

Исходный куб имеет 6 граней:

• Нижняя грань ($ABCD$)
• Верхняя грань ($A_1B_1C_1D_1$)
• Четыре боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $DAA_1D_1$)

Рассмотрим, как изменится количество граней после удаления пирамиды $A_1ABD_1$:

• Две грани куба останутся неизменными: правая грань ($BCC_1B_1$) и задняя грань ($CDD_1C_1$). (2 грани)
• Грани куба, которые будут изменены (их площадь уменьшится, но они останутся едиными гранями):
  • Передняя грань ($ABB_1A_1$): из нее будет удален треугольник $\triangle A_1AB$. Оставшаяся часть станет новой гранью (четырехугольником $A_1B_1BA$). (1 грань)
  • Левая грань ($DAA_1D_1$): из нее будет удален треугольник $\triangle A_1AD_1$. Оставшаяся часть станет новой гранью (четырехугольником $A_1D_1DA$). (1 грань)
  • Нижняя грань ($ABCD$): плоскость $\triangle ABD_1$ проходит через нее, образуя новый срез. Однако сама грань $ABCD$ по-прежнему является частью поверхности многогранника. (1 грань)
  • Верхняя грань ($A_1B_1C_1D_1$): плоскость $\triangle A_1BD_1$ проходит через нее, образуя новый срез. Сама грань $A_1B_1C_1D_1$ по-прежнему является частью поверхности многогранника. (1 грань)
• Две новые грани будут образованы в результате среза:
  • Треугольная грань $\triangle ABD_1$. (1 грань)
  • Треугольная грань $\triangle A_1BD_1$. (1 грань)

Таким образом, общее количество граней у получившегося многогранника будет $F = 2 (\text{неизменных}) + 4 (\text{измененных}) + 2 (\text{новых}) = 8$.

$F = 8$

Сравним количество вершин и граней: $V = 8$ и $F = 8$.

Ответ: Да, верно.

41. Изготовьте модель невыпуклого многогранника, который получится, если:

а) к каждой грани тетраэдра приклеить равный ему тетраэдр;

б) к каждой грани куба приклеить равный ему куб;

в) к каждой грани куба приклеить четырехугольную пирамиду, основание которой равно грани куба.

a) к каждой грани тетраэдра приклеить равный ему тетраэдр

Исходный тетраэдр имеет 4 грани. К каждой из этих граней приклеивается по одному равному ему тетраэдру. В результате этого процесса центральный тетраэдр становится "сердцевиной" новой фигуры. Четыре приклеенных тетраэдра выступают наружу от каждой из бывших граней центрального тетраэдра. Формируется фигура, напоминающая звезду или "шипастый" тетраэдр. Такая фигура будет невыпуклой, так как между выступающими частями (новыми тетраэдрами) образуются впадины или "внутренние" углы (углы между соседними внешними гранями, превышающие $180^\circ$ при измерении изнутри). Например, если провести отрезок между точками, расположенными на внешних поверхностях двух соседних приклеенных тетраэдров, этот отрезок может проходить вне тела полученного многогранника в области, где ранее находились ребра центрального тетраэдра, что свидетельствует о невыпуклости.

Ответ: полученный многогранник будет невыпуклым.

б) к каждой грани куба приклеить равный ему куб

Исходный куб имеет 6 граней. К каждой из этих граней приклеивается по одному равному ему кубу. Центральный куб становится внутренним элементом новой конструкции. Шесть приклеенных кубов выступают наружу. В результате получается сложная фигура, состоящая из семи кубов. Эта фигура является ярким примером невыпуклого многогранника. Между приклеенными кубами, вдоль ребер и у вершин центрального куба, образуются значительные впадины. Например, если рассмотреть любую вершину центрального куба, к ней примыкают три грани, и на каждой из них приклеен свой куб. Пространство между этими тремя выступающими кубами будет представлять собой "вогнутую" область. Любой отрезок, соединяющий точки, расположенные на внешних поверхностях двух соседних приклеенных кубов (например, на их внешних вершинах, не являющихся частью приклейки), в большинстве случаев будет проходить через пустое пространство, а не через тело многогранника, что является определением невыпуклости.

Ответ: полученный многогранник будет невыпуклым.

в) к каждой грани куба приклеить четырехугольную пирамиду, основание которой равно грани куба.

Исходный куб имеет 6 граней. К каждой грани приклеивается четырехугольная (квадратная) пирамида, основание которой точно соответствует грани куба. Этот процесс приводит к формированию многогранника с шестью "шипами" (пирамидами), исходящими из каждой грани куба. Центральный куб становится его внутренней частью. Подобно предыдущим случаям, такой многогранник будет невыпуклым. Впадины образуются вдоль ребер и вокруг вершин исходного куба, между основаниями приклеенных пирамид. Например, если взять две соседние пирамиды, приклеенные к смежным граням куба, то между их боковыми гранями, расположенными над общим ребром куба, будет формироваться вогнутая область. Отрезок, соединяющий вершины двух соседних пирамид, будет проходить вне тела многогранника в области над ребром куба, что указывает на невыпуклость.

Ответ: полученный многогранник будет невыпуклым.

42. а) Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием наклонена к нему под углом $60^\circ$. Найдите синус угла между этой диагональю и боковой гранью параллелепипеда.

б) Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием образует с его боковой гранью угол $30^\circ$. Найдите угол между этой диагональю и плоскостью основания параллелепипеда.

a)

Дано:

прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием;

угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

синус угла $\beta$ между диагональю параллелепипеда и боковой гранью.

Решение:

Пусть сторона квадратного основания параллелепипеда равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$.

Диагональ основания $d_{осн}$ для квадратного основания со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Обозначим пространственную диагональ параллелепипеда как $D$.

Угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда $D$ и плоскостью основания определяется как угол между диагональю $D$ и ее проекцией на плоскость основания (диагональю основания $d_{осн}$). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, диагональю основания $d_{осн}$ и пространственной диагональю $D$, справедливо соотношение:

$\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{D}$

По условию, $\alpha = 60^\circ$. Подставим значения:

$\cos 60^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{D}$

$\frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{D}$

Отсюда выразим $D$:

$D = 2a\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим угол $\beta$ между диагональю $D$ и боковой гранью. Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Если рассмотреть вершину параллелепипеда, через которую проходит диагональ, и ее проекцию на боковую грань, то расстояние от этой вершины до боковой грани будет равно стороне основания $a$ (которая перпендикулярна этой грани). Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, где гипотенузой является диагональ $D$, а катетом, противолежащим углу $\beta$, является сторона $a$.

Следовательно, синус угла $\beta$ равен:

$\sin \beta = \frac{a}{D}$.

Подставим ранее найденное значение $D = 2a\sqrt{2}$:

$\sin \beta = \frac{a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\sin \beta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

б)

Дано:

прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием;

угол наклона диагонали параллелепипеда к боковой грани $\beta = 30^\circ$.

Найти:

угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Решение:

Пусть сторона квадратного основания параллелепипеда равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$.

Обозначим пространственную диагональ параллелепипеда как $D$.

Мы используем соотношения для углов, выведенные в предыдущей задаче:

Синус угла $\alpha$ между диагональю $D$ и плоскостью основания: $\sin \alpha = \frac{h}{D}$.

Синус угла $\beta$ между диагональю $D$ и боковой гранью: $\sin \beta = \frac{a}{D}$.

По условию, $\beta = 30^\circ$. Подставим это значение во второе соотношение:

$\sin 30^\circ = \frac{a}{D}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{D}$

Отсюда выразим $D$:

$D = 2a$.

Для прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона $a$, высота $h$) справедливо соотношение для пространственной диагонали, исходящее из теоремы Пифагора:

$D^2 = a^2 + a^2 + h^2$

$D^2 = 2a^2 + h^2$.

Подставим найденное значение $D = 2a$ в это уравнение:

$(2a)^2 = 2a^2 + h^2$

$4a^2 = 2a^2 + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 4a^2 - 2a^2$

$h^2 = 2a^2$

Извлечем корень:

$h = a\sqrt{2}$.

Теперь, когда мы знаем $h$ и $D$ в терминах $a$, мы можем найти $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{h}{D} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

43. Изготовьте модель наклонной четырехугольной призмы, четыре грани которой являются квадратами.

Дано:

Задача требует изготовить модель геометрической фигуры, а не произвести численные вычисления. Следовательно, "дано" описывает свойства и требования к модели.

• Модель должна представлять собой наклонную призму.

• Призма должна быть четырехугольной (т.е., иметь четыре боковые грани и два основания в форме четырехугольников).

• Четыре из шести граней призмы должны быть квадратами.

Найти:

Описание конструкции и шаги для изготовления физической модели наклонной четырехугольной призмы, удовлетворяющей заданным условиям.

Решение:

Анализ геометрических свойств:

Четырехугольная призма состоит из двух оснований и четырех боковых граней. Всего у нее шесть граней. Условие "наклонная призма" означает, что боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим, какие грани могут быть квадратами:

1. Если все четыре боковые грани являются квадратами, то это автоматически означает, что боковые ребра перпендикулярны основаниям (так как стороны квадратов перпендикулярны). В этом случае призма была бы прямой, что противоречит условию "наклонная". Следовательно, не все боковые грани могут быть квадратами.

2. Если два основания являются квадратами, и две смежные боковые грани также являются квадратами (например, $ABB'A'$ и $ADD'A'$). Пусть сторона квадрата основания равна $a$. Для того чтобы $ABB'A'$ была квадратом, боковое ребро $AA'$ должно быть перпендикулярно стороне основания $AB$ ($AA' \perp AB$) и иметь длину $a$. Аналогично, для того чтобы $ADD'A'$ была квадратом, $AA'$ должно быть перпендикулярно $AD$ ($AA' \perp AD$) и иметь длину $a$. Поскольку $AB$ и $AD$ являются смежными сторонами квадрата основания и, следовательно, перпендикулярны друг другу, то ребро $AA'$ будет перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости основания. Это означает, что $AA'$ перпендикулярно всей плоскости основания, делая призму прямой. Это также противоречит условию "наклонная".

3. Единственная возможная интерпретация, которая удовлетворяет всем условиям, заключается в следующем: два основания призмы являются квадратами, и две противоположные боковые грани также являются квадратами.

   Пусть сторона квадратного основания равна $a$.

   Тогда:

   • Два основания призмы — это квадраты со стороной $a$. (2 квадратные грани)

   • Пусть две противоположные боковые грани, например, $ABB'A'$ и $CDD'C'$, являются квадратами. Это означает, что длина бокового ребра $AA'$ равна $a$, и $AA' \perp AB$. Также $DD' \perp DC$. Поскольку $AA' \parallel DD'$ и $AB \parallel DC$, эти условия согласованы.

   • Для того чтобы призма была наклонной, боковое ребро $AA'$ не должно быть перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что угол между $AA'$ и смежным ребром основания, не являющимся $AB$ (например, $AD$), должен быть отличным от $90^\circ$.

   • Следовательно, две оставшиеся боковые грани ($ADD'A'$ и $BCC'B'$) будут ромбами (параллелограммами с равными сторонами $a$, но с углами, не равными $90^\circ$). Их стороны будут равны $a$, но внутренние углы будут отличаться от $90^\circ$. Например, можно выбрать угол $60^\circ$ (и $120^\circ$) для этих ромбов.

   Таким образом, модель будет иметь 4 квадратные грани (два основания и две противоположные боковые грани) и 2 ромбические боковые грани, что соответствует условиям задачи для наклонной призмы.

Описание модели:

Модель будет представлять собой призму с двумя квадратными основаниями. Все боковые ребра призмы будут равны стороне основания. Две противоположные боковые грани будут квадратами, а две другие (смежные с ними) боковые грани будут ромбами с той же длиной стороны, но с острыми и тупыми углами. Высота призмы (перпендикулярное расстояние между основаниями) будет меньше длины бокового ребра.

Например, если сторона основания $a$, то боковое ребро тоже $a$. Пусть угол между боковым ребром $AA'$ и стороной основания $AD$ равен $\theta$, где $\theta \ne 90^\circ$. Тогда проекция $A'$ на плоскость основания, точка $H$, будет находиться на прямой $AD$ на расстоянии $x = a \cos(\theta)$ от $A$. Высота призмы будет $h = a \sin(\theta)$.

Изготовление модели (развертка):

Для изготовления модели вам понадобятся: плотный картон или бумага, линейка, карандаш, ножницы, клей или скотч.

1. Выберите удобную длину стороны $a$ для квадратов (например, $5 \text{ см}$).

2. Начертите развертку призмы. Самый простой способ — начертить центральный квадрат (одно из оснований, например $ABCD$) и прикрепить к его сторонам боковые грани.

3. К сторонам $AB$ и $CD$ центрального квадрата прикрепите два других квадрата со стороной $a$. Это будут квадратные боковые грани $ABB'A'$ и $CDD'C'$.

4. К сторонам $BC$ и $DA$ центрального квадрата прикрепите два ромба со стороной $a$. Для этих ромбов необходимо выбрать угол, не равный $90^\circ$. Например, можно выбрать острый угол $60^\circ$. Тогда смежный ему угол будет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Высота такого ромба будет $a \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866a$.

   Для построения ромба с углом $60^\circ$: начертите сторону длиной $a$. Из одного ее конца проведите отрезок длиной $a$ под углом $60^\circ$. Из другого конца первого отрезка проведите отрезок длиной $a$ параллельно второму. Соедините оставшиеся концы.

5. К верхнему краю одной из боковых граней (например, к $A'B'$ квадрата $ABB'A'$) прикрепите второе квадратное основание $A'B'C'D'$. Убедитесь, что стороны этого квадрата будут совпадать с верхними сторонами боковых граней при складывании ($A'D'$ совпадет с верхней стороной ромба $ADD'A'$, $B'C'$ с верхней стороной ромба $BCC'B'$, а $C'D'$ с верхней стороной квадрата $CDD'C'$).

6. Добавьте клапаны для склеивания вдоль всех внешних ребер развертки.

7. Аккуратно вырежьте развертку по внешнему контуру.

8. Согните развертку по всем линиям. Используйте линейку для точных сгибов.

9. Склейте модель, используя клапаны.

Ответ:

Модель наклонной четырехугольной призмы, четыре грани которой являются квадратами, будет иметь два квадратных основания и две противоположные боковые грани в форме квадратов. Две другие боковые грани будут ромбами. Для создания модели необходимо начертить и вырезать развертку, состоящую из двух квадратов для оснований, двух квадратов для боковых граней и двух ромбов для оставшихся боковых граней. Все стороны этих фигур, соответствующие ребрам призмы, должны иметь одинаковую длину $a$. Углы ромбических граней должны быть отличны от $90^\circ$ (например, $60^\circ$ и $120^\circ$), чтобы призма была наклонной.