Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

57. a) В наклонной треугольной призме две боковые грани равны, угол между ними $60^\circ$. Общее ребро этих граней равно $2\sqrt{3}$ м и удалено от противоположной боковой грани на расстояние, равное 4 м. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

б) Угол между двумя боковыми гранями наклонной треугольной призмы равен $120^\circ$, а расстояния от их общего ребра, равного 12 дм, до остальных ребер равны 7 дм и 8 дм. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

а)

Дано:
наклонная треугольная призма
две боковые грани равны
угол между этими гранями $\alpha = 60^\circ$
общее ребро этих граней (боковое ребро призмы) $l = 2\sqrt{3}$ м
расстояние от этого ребра до противоположной боковой грани $h = 4$ м

Перевод в СИ:
Все величины даны в метрах (м), что соответствует системе СИ, поэтому перевод не требуется.

Найти:
площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$

Решение:
Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $P_{перп}$ - периметр перпендикулярного сечения, а $l$ - длина бокового ребра.
По условию, две боковые грани равны. Пусть это грани $AA'B'B$ и $BB'C'C$. Их равенство означает, что соответствующие стороны перпендикулярного сечения равны. То есть, если $A_1B_1C_1$ - перпендикулярное сечение, то $A_1B_1 = B_1C_1$. Таким образом, треугольник $A_1B_1C_1$ является равнобедренным.
Угол между этими гранями равен $60^\circ$. Угол между боковыми гранями равен соответствующему углу в перпендикулярном сечении. Следовательно, $\angle A_1B_1C_1 = 60^\circ$.
Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами является равносторонним треугольником. Значит, $A_1B_1C_1$ - равносторонний треугольник.
Общее ребро этих граней - это боковое ребро $BB'$. Расстояние от этого ребра до противоположной боковой грани ($CC'A'A$) равно высоте перпендикулярного сечения, проведенной из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Пусть сторона равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ равна $a$. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
По условию, $h = 4$ м.

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 4$
$a\sqrt{3} = 8$
$a = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ м

Периметр перпендикулярного сечения $P_{перп}$ равен сумме длин его сторон. Поскольку это равносторонний треугольник, $P_{перп} = 3a$.

$P_{перп} = 3 \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ м

Длина бокового ребра $l = 2\sqrt{3}$ м (по условию, это длина общего ребра).
Тогда площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = (8\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = 16 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ м$^2$

Ответ: $48 \text{ м}^2$

б)

Дано:
наклонная треугольная призма
угол между двумя боковыми гранями $\beta = 120^\circ$
длина общего ребра этих граней (бокового ребра призмы) $l = 12$ дм
расстояния от этого общего ребра до остальных ребер $d_1 = 7$ дм и $d_2 = 8$ дм

Перевод в СИ:
$l = 12 \text{ дм} = 12 \cdot 0.1 \text{ м} = 1.2 \text{ м}$
$d_1 = 7 \text{ дм} = 7 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.7 \text{ м}$
$d_2 = 8 \text{ дм} = 8 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.8 \text{ м}$

Найти:
площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$

Решение:
Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $P_{перп}$ - периметр перпендикулярного сечения, а $l$ - длина бокового ребра.
Длина бокового ребра $l = 12$ дм (по условию, это длина общего ребра).
Пусть $A_1B_1C_1$ - перпендикулярное сечение призмы.
Угол между двумя боковыми гранями равен $120^\circ$. Это угол между соответствующими сторонами перпендикулярного сечения. Пусть $\angle A_1B_1C_1 = 120^\circ$.
Расстояния от общего ребра ($BB'$) до остальных ребер ($AA'$ и $CC'$) - это длины сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ перпендикулярного сечения. То есть, $A_1B_1 = 7$ дм и $B_1C_1 = 8$ дм.
Для нахождения периметра перпендикулярного сечения $P_{перп} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1$, нам нужно найти длину стороны $A_1C_1$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1C_1^2 = A_1B_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos(\angle A_1B_1C_1)$
$A_1C_1^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставляем это значение:
$A_1C_1^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 56 \cdot (-\frac{1}{2})$
$A_1C_1^2 = 113 - (-56)$
$A_1C_1^2 = 113 + 56$
$A_1C_1^2 = 169$
$A_1C_1 = \sqrt{169} = 13$ дм

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения:
$P_{перп} = 7 + 8 + 13 = 28$ дм

И, наконец, площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 28 \text{ дм} \cdot 12 \text{ дм} = 336$ дм$^2$

Ответ: $336 \text{ дм}^2$

58. В наклонной треугольной призме одно боковое ребро равно $\sqrt{2}$ дм и удалено от двух других ее боковых ребер на расстояние, равное 1 дм, а двугранный угол при этом ребре равен 150°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Наклонная треугольная призма.

Длина бокового ребра $l = \sqrt{2}$ дм.

Расстояния от одного бокового ребра до двух других боковых ребер (две стороны перпендикулярного сечения, исходящие из одной вершины) $a' = 1$ дм, $b' = 1$ дм.

Двугранный угол при этом ребре (угол между этими сторонами в перпендикулярном сечении) $\alpha = 150^\circ$.

Перевод в СИ:

$l = \sqrt{2} \text{ дм} = \sqrt{2} \cdot 0.1 \text{ м}$

$a' = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$b' = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{5\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. $S_{бок} = P_{перпендикулярного\,сечения} \cdot l$

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. Оно представляет собой треугольник. Согласно условию, две стороны этого треугольника, исходящие из одной вершины, равны $a' = 1 \text{ дм}$ и $b' = 1 \text{ дм}$. Угол между этими сторонами равен двугранному углу при соответствующем боковом ребре, то есть $\alpha = 150^\circ$.

Найдем третью сторону $c'$ перпендикулярного сечения, используя теорему косинусов:

$c'^2 = a'^2 + b'^2 - 2a'b' \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $c'^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(150^\circ)$

Вычислим значение $\cos(150^\circ)$: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Тогда: $c'^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $c'^2 = 2 + \sqrt{3}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $c'$: $c' = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Упростим выражение для $c'$: $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Итак, стороны перпендикулярного сечения равны $1 \text{ дм}$, $1 \text{ дм}$ и $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \text{ дм}$.

Вычислим периметр перпендикулярного сечения $P_{перпендикулярного\,сечения}$: $P_{перпендикулярного\,сечения} = 1 + 1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ дм.

Длина бокового ребра $l = \sqrt{2} \text{ дм}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = \left(2 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sqrt{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{12} + \sqrt{4}}{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{3} + 2}{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1$

Единицы измерения площади: квадратные дециметры ($дм^2$).

Ответ:

$2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \text{ дм}^2$

59. Основание наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – квадрат со стороной 4 см, высота призмы равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее высотой является отрезок:

а) $D_1O$, где $O$ – точка пересечения диагоналей основания (рисунок 48, а);

б) $D_1M$, где $M$ – середина ребра $AD$ (рисунок 48, б).

а)

б)

Рисунок 48

Дано:

Основание призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — квадрат со стороной $a = 4$ см.

Высота призмы $h = 2\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ:

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$h = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 0.0346 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности призмы $S_{total}$ для двух случаев.

Решение

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле: $S_{total} = 2S_{base} + S_{lateral}$.

Площадь основания $S_{base}$ является площадью квадрата со стороной $a = 4$ см:

$S_{base} = a^2 = (4 \text{ см})^2 = 16 \text{ см}^2$.

В данном случае, высота призмы $h = D_1O = 2\sqrt{3}$ см, и $D_1O$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Длина отрезка $DO$ равна половине диагонали квадрата.

Длина диагонали квадрата $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, $DO = \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle D_1OD$. Катеты $D_1O$ и $DO$, гипотенуза $DD_1$ является длиной бокового ребра призмы $L$.

По теореме Пифагора:

$L^2 = DD_1^2 = D_1O^2 + DO^2$

$L^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = (4 \cdot 3) + (4 \cdot 2) = 12 + 8 = 20$

$L = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Боковая поверхность призмы состоит из четырех параллелограммов. Для вычисления их площадей используем формулу площади параллелограмма $A = side_1 \cdot side_2 \cdot \sin(\theta)$.

Введем систему координат: пусть $D = (0,0,0)$, $A = (4,0,0)$, $C = (0,4,0)$. Тогда $O = (2,2,0)$.

Так как $D_1O$ — высота, то $D_1 = (2,2,2\sqrt{3})$.

Вектор бокового ребра $\vec{DD_1} = (2,2,2\sqrt{3})$. Длина $|\vec{DD_1}| = \sqrt{2^2+2^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+4+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

1. Площадь грани $ADD_1A_1$ (параллелограмм со сторонами $AD=4$ и $DD_1=2\sqrt{5}$):

Вектор $\vec{DA} = (4,0,0)$.

$\cos(\angle ADD_1) = \frac{\vec{DA} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{DA}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin(\angle ADD_1) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$S_{ADD_1A_1} = AD \cdot DD_1 \cdot \sin(\angle ADD_1) = 4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 16 \text{ см}^2$.

2. Площадь грани $DCC_1D_1$ (параллелограмм со сторонами $DC=4$ и $DD_1=2\sqrt{5}$):

Вектор $\vec{DC} = (0,4,0)$.

$\cos(\angle CDC_1) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{0 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{8\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\sin(\angle CDC_1) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$S_{DCC_1D_1} = DC \cdot DD_1 \cdot \sin(\angle CDC_1) = 4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 16 \text{ см}^2$.

Из-за симметрии призмы относительно центра основания, площади всех четырех боковых граней равны.

$S_{lateral} = 4 \cdot S_{ADD_1A_1} = 4 \cdot 16 = 64 \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности:

$S_{total,a} = 2S_{base} + S_{lateral} = 2 \cdot 16 + 64 = 32 + 64 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$

В данном случае, высота призмы $h = D_1M = 2\sqrt{3}$ см, и $D_1M$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Точка $M$ — середина ребра $AD$. Длина отрезка $MD$ равна половине стороны квадрата $a/2 = 4/2 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle D_1MD$. Катеты $D_1M$ и $MD$, гипотенуза $DD_1$ является длиной бокового ребра призмы $L$.

По теореме Пифагора:

$L^2 = DD_1^2 = D_1M^2 + MD^2$

$L^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = (4 \cdot 3) + 4 = 12 + 4 = 16$

$L = \sqrt{16} = 4$ см.

Введем систему координат: пусть $D = (0,0,0)$, $A = (4,0,0)$, $C = (0,4,0)$. Тогда $M = (2,0,0)$.

Так как $D_1M$ — высота, то $D_1 = (2,0,2\sqrt{3})$.

Вектор бокового ребра $\vec{DD_1} = (2,0,2\sqrt{3})$. Длина $|\vec{DD_1}| = \sqrt{2^2+0^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+0+12} = \sqrt{16} = 4$ см.

Вычислим площади боковых граней:

1. Площадь грани $ADD_1A_1$ (параллелограмм со сторонами $AD=4$ и $DD_1=4$):

Так как $D_1M \perp (ABCD)$ и $M$ лежит на $AD$, то $D_1M \perp AD$. Следовательно, $D_1M$ является высотой параллелограмма $ADD_1A_1$ к основанию $AD$.

$S_{ADD_1A_1} = AD \cdot D_1M = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$. (Эта грань является прямоугольником).

2. Площадь грани $DCC_1D_1$ (параллелограмм со сторонами $DC=4$ и $DD_1=4$):

Вектор $\vec{DC} = (0,4,0)$. Вектор $\vec{DD_1} = (2,0,2\sqrt{3})$.

$\cos(\angle CDC_1) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DD_1}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DD_1}|} = \frac{0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{0}{16} = 0$.

Следовательно, $\angle CDC_1 = 90^\circ$. Грань $DCC_1D_1$ является прямоугольником.

$S_{DCC_1D_1} = DC \cdot DD_1 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

3. Площадь грани $CBB_1C_1$ (параллелограмм со сторонами $CB=4$ и $CC_1=4$):

Вектор $\vec{CB} = (4,0,0)$ (из $C=(0,4,0)$ в $B=(4,4,0)$). Вектор $\vec{CC_1}=\vec{DD_1}=(2,0,2\sqrt{3})$.

$\cos(\angle BCC_1) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CC_1}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CC_1}|} = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle BCC_1 = 60^\circ$.

$S_{CBB_1C_1} = CB \cdot CC_1 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$.

4. Площадь грани $BAA_1B_1$ (параллелограмм со сторонами $AB=4$ и $AA_1=4$):

Вектор $\vec{AB} = (0,4,0)$ (из $A=(4,0,0)$ в $B=(4,4,0)$). Вектор $\vec{AA_1}=\vec{DD_1}=(2,0,2\sqrt{3})$.

$\cos(\angle BAB_1) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AA_1}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AA_1}|} = \frac{0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2\sqrt{3}}{4 \cdot 4} = \frac{0}{16} = 0$.

Следовательно, $\angle BAB_1 = 90^\circ$. Грань $BAA_1B_1$ является прямоугольником.

$S_{BAA_1B_1} = AB \cdot AA_1 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

Суммарная площадь боковой поверхности:

$S_{lateral} = S_{ADD_1A_1} + S_{DCC_1D_1} + S_{CBB_1C_1} + S_{BAA_1B_1}$

$S_{lateral} = 8\sqrt{3} + 16 + 8\sqrt{3} + 16 = 32 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности:

$S_{total,b} = 2S_{base} + S_{lateral} = 2 \cdot 16 + (32 + 16\sqrt{3}) = 32 + 32 + 16\sqrt{3} = 64 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $64 + 16\sqrt{3} \text{ см}^2$

60. В наклонной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием является прямоугольник со сторонами $CD = 6$ м и $AD = 10$ м. Известно, что боковая грань $ABB_1A_1$ – квадрат, а двугранный угол при ребре $AB$ равен $135^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Наклонная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Основание $ABCD$ — прямоугольник.
Стороны основания: $CD = 6$ м, $AD = 10$ м.
Боковая грань $ABB_1A_1$ — квадрат.
Двугранный угол при ребре $AB$ равен $135^\circ$.

Перевод в СИ:
Все данные уже представлены в системе СИ (метры).

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$).

Решение:

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней. В данной призме боковые грани являются параллелограммами (в частных случаях — прямоугольниками или квадратами).

1. Определение длин ребер:
Так как основание $ABCD$ — прямоугольник, то $AB = CD = 6$ м и $BC = AD = 10$ м.
Так как боковая грань $ABB_1A_1$ — квадрат, то ее стороны равны. $AB = AA_1 = 6$ м. Все боковые ребра призмы равны, поэтому $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 6$ м.

2. Расчет площадей боковых граней:
a) Грань $ABB_1A_1$: Это квадрат со стороной $AB = 6$ м.
$S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 = 6 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$.

b) Грань $DAA_1D_1$: Это параллелограмм со сторонами $AD = 10$ м и $AA_1 = 6$ м.
Двугранный угол при ребре $AB$ равен $135^\circ$. Поскольку основание $ABCD$ — прямоугольник, $AD \perp AB$. Так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат, $AA_1 \perp AB$. Следовательно, угол между $AD$ и $AA_1$ ($\angle DAA_1$) является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$. Таким образом, $\angle DAA_1 = 135^\circ$.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, $\alpha$ — угол между ними.
$S_{DAA_1D_1} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1) = 10 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot \sin(135^\circ)$.
$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$S_{DAA_1D_1} = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ м}^2$.

c) Грань $BCC_1B_1$: Это параллелограмм со сторонами $BC = 10$ м и $BB_1 = 6$ м.
Так как $BC \parallel AD$ и $BB_1 \parallel AA_1$, то угол между $BC$ и $BB_1$ ($\angle CBB_1$) равен углу между $AD$ и $AA_1$ ($\angle DAA_1$). Следовательно, $\angle CBB_1 = 135^\circ$.
$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot BB_1 \cdot \sin(\angle CBB_1) = 10 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot \sin(135^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ м}^2$. (Заметим, что противоположные боковые грани призмы конгруэнтны, поэтому $S_{BCC_1B_1} = S_{DAA_1D_1}$).

d) Грань $CDD_1C_1$: Это параллелограмм со сторонами $CD = 6$ м и $CC_1 = 6$ м.
Так как $CD \parallel AB$ и $DD_1 \parallel AA_1$, то угол между $CD$ и $DD_1$ ($\angle CDD_1$) равен углу между $AB$ и $AA_1$ ($\angle A_1AB$).
Поскольку грань $ABB_1A_1$ — квадрат, $AA_1 \perp AB$, то $\angle A_1AB = 90^\circ$.
Следовательно, $\angle CDD_1 = 90^\circ$. Таким образом, грань $CDD_1C_1$ является прямоугольником.
$S_{CDD_1C_1} = CD \cdot DD_1 = 6 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$. (Заметим, что $S_{CDD_1C_1} = S_{ABB_1A_1}$).

3. Расчет общей площади боковой поверхности:
$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} + S_{DAA_1D_1}$
$S_{бок} = 36 \text{ м}^2 + 30\sqrt{2} \text{ м}^2 + 36 \text{ м}^2 + 30\sqrt{2} \text{ м}^2$
$S_{бок} = (36 + 36) + (30\sqrt{2} + 30\sqrt{2}) = 72 + 60\sqrt{2} \text{ м}^2$.

Ответ: $72 + 60\sqrt{2} \text{ м}^2$.