Номер 60, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

60. В наклонной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основанием является прямоугольник со сторонами $CD = 6$ м и $AD = 10$ м. Известно, что боковая грань $ABB_1A_1$ – квадрат, а двугранный угол при ребре $AB$ равен $135^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Наклонная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Основание $ABCD$ — прямоугольник.
Стороны основания: $CD = 6$ м, $AD = 10$ м.
Боковая грань $ABB_1A_1$ — квадрат.
Двугранный угол при ребре $AB$ равен $135^\circ$.

Перевод в СИ:
Все данные уже представлены в системе СИ (метры).

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$).

Решение:

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее боковых граней. В данной призме боковые грани являются параллелограммами (в частных случаях — прямоугольниками или квадратами).

1. Определение длин ребер:
Так как основание $ABCD$ — прямоугольник, то $AB = CD = 6$ м и $BC = AD = 10$ м.
Так как боковая грань $ABB_1A_1$ — квадрат, то ее стороны равны. $AB = AA_1 = 6$ м. Все боковые ребра призмы равны, поэтому $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 6$ м.

2. Расчет площадей боковых граней:
a) Грань $ABB_1A_1$: Это квадрат со стороной $AB = 6$ м.
$S_{ABB_1A_1} = AB \cdot AA_1 = 6 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$.

b) Грань $DAA_1D_1$: Это параллелограмм со сторонами $AD = 10$ м и $AA_1 = 6$ м.
Двугранный угол при ребре $AB$ равен $135^\circ$. Поскольку основание $ABCD$ — прямоугольник, $AD \perp AB$. Так как грань $ABB_1A_1$ — квадрат, $AA_1 \perp AB$. Следовательно, угол между $AD$ и $AA_1$ ($\angle DAA_1$) является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$. Таким образом, $\angle DAA_1 = 135^\circ$.
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, $\alpha$ — угол между ними.
$S_{DAA_1D_1} = AD \cdot AA_1 \cdot \sin(\angle DAA_1) = 10 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot \sin(135^\circ)$.
$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$S_{DAA_1D_1} = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ м}^2$.

c) Грань $BCC_1B_1$: Это параллелограмм со сторонами $BC = 10$ м и $BB_1 = 6$ м.
Так как $BC \parallel AD$ и $BB_1 \parallel AA_1$, то угол между $BC$ и $BB_1$ ($\angle CBB_1$) равен углу между $AD$ и $AA_1$ ($\angle DAA_1$). Следовательно, $\angle CBB_1 = 135^\circ$.
$S_{BCC_1B_1} = BC \cdot BB_1 \cdot \sin(\angle CBB_1) = 10 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot \sin(135^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 30\sqrt{2} \text{ м}^2$. (Заметим, что противоположные боковые грани призмы конгруэнтны, поэтому $S_{BCC_1B_1} = S_{DAA_1D_1}$).

d) Грань $CDD_1C_1$: Это параллелограмм со сторонами $CD = 6$ м и $CC_1 = 6$ м.
Так как $CD \parallel AB$ и $DD_1 \parallel AA_1$, то угол между $CD$ и $DD_1$ ($\angle CDD_1$) равен углу между $AB$ и $AA_1$ ($\angle A_1AB$).
Поскольку грань $ABB_1A_1$ — квадрат, $AA_1 \perp AB$, то $\angle A_1AB = 90^\circ$.
Следовательно, $\angle CDD_1 = 90^\circ$. Таким образом, грань $CDD_1C_1$ является прямоугольником.
$S_{CDD_1C_1} = CD \cdot DD_1 = 6 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} = 36 \text{ м}^2$. (Заметим, что $S_{CDD_1C_1} = S_{ABB_1A_1}$).

3. Расчет общей площади боковой поверхности:
$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} + S_{DAA_1D_1}$
$S_{бок} = 36 \text{ м}^2 + 30\sqrt{2} \text{ м}^2 + 36 \text{ м}^2 + 30\sqrt{2} \text{ м}^2$
$S_{бок} = (36 + 36) + (30\sqrt{2} + 30\sqrt{2}) = 72 + 60\sqrt{2} \text{ м}^2$.

Ответ: $72 + 60\sqrt{2} \text{ м}^2$.