Номер 55, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

55. a) Расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат боковые ребра наклонной треугольной призмы, равны 2 см, 3 см и 4 см. Боковое ребро призмы равно 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

б) Сечение наклонной треугольной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, – равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро равно 5 см.

а)

Дано:

расстояния между параллельными прямыми, на которых лежат боковые ребра (стороны перпендикулярного сечения): $a_{сеч} = 2 \text{ см}$, $b_{сеч} = 3 \text{ см}$, $c_{сеч} = 4 \text{ см}$. длина бокового ребра: $L = 5 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a_{сеч} = 0.02 \text{ м}$ $b_{сеч} = 0.03 \text{ м}$ $c_{сеч} = 0.04 \text{ м}$ $L = 0.05 \text{ м}$

Найти:

площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ можно найти как произведение периметра ее перпендикулярного сечения $P_{сеч}$ на длину бокового ребра $L$: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L$

перпендикулярное сечение представляет собой треугольник со сторонами $2 \text{ см}$, $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$. найдем периметр перпендикулярного сечения: $P_{сеч} = a_{сеч} + b_{сеч} + c_{сеч} = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}$

теперь вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 9 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 45 \text{ см}^2$

Ответ: $45 \text{ см}^2$

б)

Дано:

сечение, перпендикулярное боковому ребру (нормальное сечение) — равнобедренный прямоугольный треугольник. площадь нормального сечения: $S_{сеч} = 8 \text{ см}^2$. длина бокового ребра: $L = 5 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 8 \text{ см}^2 = 8 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$ $L = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L$, где $P_{сеч}$ — периметр перпендикулярного сечения, а $L$ — длина бокового ребра.

перпендикулярное сечение является равнобедренным прямоугольным треугольником. пусть длины его катетов равны $x$. площадь такого треугольника равна половине произведения катетов: $S_{сеч} = \frac{1}{2} x \cdot x = \frac{1}{2} x^2$

подставим известное значение площади: $8 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} x^2$ $x^2 = 16 \text{ см}^2$ $x = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

таким образом, катеты треугольника равны $4 \text{ см}$. гипотенуза $c$ равнобедренного прямоугольного треугольника равна $x\sqrt{2}$: $c = 4\sqrt{2} \text{ см}$

найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{сеч}$: $P_{сеч} = x + x + c = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4\sqrt{2} \text{ см} = (8 + 4\sqrt{2}) \text{ см}$

теперь вычислим площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot L = (8 + 4\sqrt{2}) \text{ см} \cdot 5 \text{ см}$ $S_{бок} = (8 \cdot 5 + 4\sqrt{2} \cdot 5) \text{ см}^2 = (40 + 20\sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ: $(40 + 20\sqrt{2}) \text{ см}^2$