Номер 58, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

2. Площадь поверхности призмы. I. Многогранники - номер 58, страница 28.

Условие.

58. В наклонной треугольной призме одно боковое ребро равно $\sqrt{2}$ дм и удалено от двух других ее боковых ребер на расстояние, равное 1 дм, а двугранный угол при этом ребре равен 150°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Наклонная треугольная призма.

Длина бокового ребра $l = \sqrt{2}$ дм.

Расстояния от одного бокового ребра до двух других боковых ребер (две стороны перпендикулярного сечения, исходящие из одной вершины) $a' = 1$ дм, $b' = 1$ дм.

Двугранный угол при этом ребре (угол между этими сторонами в перпендикулярном сечении) $\alpha = 150^\circ$.

Перевод в СИ:

$l = \sqrt{2} \text{ дм} = \sqrt{2} \cdot 0.1 \text{ м}$

$a' = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$b' = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = 150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{5\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. $S_{бок} = P_{перпендикулярного\,сечения} \cdot l$

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. Оно представляет собой треугольник. Согласно условию, две стороны этого треугольника, исходящие из одной вершины, равны $a' = 1 \text{ дм}$ и $b' = 1 \text{ дм}$. Угол между этими сторонами равен двугранному углу при соответствующем боковом ребре, то есть $\alpha = 150^\circ$.

Найдем третью сторону $c'$ перпендикулярного сечения, используя теорему косинусов:

$c'^2 = a'^2 + b'^2 - 2a'b' \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $c'^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(150^\circ)$

Вычислим значение $\cos(150^\circ)$: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Тогда: $c'^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $c'^2 = 2 + \sqrt{3}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $c'$: $c' = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Упростим выражение для $c'$: $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

Итак, стороны перпендикулярного сечения равны $1 \text{ дм}$, $1 \text{ дм}$ и $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \text{ дм}$.

Вычислим периметр перпендикулярного сечения $P_{перпендикулярного\,сечения}$: $P_{перпендикулярного\,сечения} = 1 + 1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ дм.

Длина бокового ребра $l = \sqrt{2} \text{ дм}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = \left(2 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sqrt{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{12} + \sqrt{4}}{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{3} + 2}{2}$ $S_{бок} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1$

Единицы измерения площади: квадратные дециметры ($дм^2$).

Ответ:

$2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1 \text{ дм}^2$