Номер 51, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

51. Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда, если стороны его основания равны:

а) 6 дм и 8 дм, а угол между ними равен $30^\circ$, а боковое ребро параллелепипеда равно 5 дм;

б) 8 м и 15 м, угол между ними равен $60^\circ$, а меньшая из площадей его диагональных сечений равна $65 \text{ м}^2$.

a)

Дано

Стороны основания прямого параллелепипеда: $a = 6$ дм, $b = 8$ дм.

Угол между сторонами основания: $\alpha = 30^\circ$.

Боковое ребро (высота): $h = 5$ дм.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$b = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$h = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

Найти

Площадь поверхности $S$.

Решение

Площадь поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ - площадь основания, а $S_{бок}$ - площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания $S_{осн}$:

Основание является параллелограммом, поэтому его площадь $S_{осн}$ равна произведению длин сторон на синус угла между ними:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

$S_{осн} = 0.6 \text{ м} \cdot 0.8 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ)$

$S_{осн} = 0.48 \text{ м}^2 \cdot 0.5$

$S_{осн} = 0.24 \text{ м}^2$

2. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$P_{осн} = 2(a+b)$

$P_{осн} = 2(0.6 \text{ м} + 0.8 \text{ м}) = 2(1.4 \text{ м}) = 2.8 \text{ м}$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 2.8 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м}$

$S_{бок} = 1.4 \text{ м}^2$

3. Полная площадь поверхности $S$:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

$S = 2 \cdot 0.24 \text{ м}^2 + 1.4 \text{ м}^2$

$S = 0.48 \text{ м}^2 + 1.4 \text{ м}^2$

$S = 1.88 \text{ м}^2$

Ответ: $1.88 \text{ м}^2$

б)

Дано

Стороны основания прямого параллелепипеда: $a = 8$ м, $b = 15$ м.

Угол между сторонами основания: $\alpha = 60^\circ$.

Меньшая из площадей диагональных сечений: $S_{диг, мин} = 65 \text{ м}^2$.

Перевод в СИ:

Все данные уже в СИ.

Найти

Площадь поверхности $S$.

Решение

Для нахождения площади поверхности нам необходимо знать высоту (боковое ребро) параллелепипеда $h$. Высоту можно найти из площади меньшего диагонального сечения.

1. Найдем длины диагоналей основания $d_1$ и $d_2$. Основание - параллелограмм. Длины диагоналей параллелограмма можно найти по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, второе уравнение можно переписать как:

$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Подставим значения: $a = 8 \text{ м}$, $b = 15 \text{ м}$, $\alpha = 60^\circ$. $\cos(60^\circ) = 0.5$.

$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$

$d_1^2 = 64 + 225 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 0.5$

$d_1^2 = 289 - 120 = 169 \text{ м}^2$

$d_1 = \sqrt{169} = 13 \text{ м}$

$d_2^2 = 8^2 + 15^2 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ)$

$d_2^2 = 64 + 225 + 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 0.5$

$d_2^2 = 289 + 120 = 409 \text{ м}^2$

$d_2 = \sqrt{409} \text{ м}$

Меньшая диагональ основания - это $d_1 = 13 \text{ м}$.

2. Найдем высоту $h$ (боковое ребро) параллелепипеда.

Диагональное сечение прямого параллелепипеда является прямоугольником. Площадь меньшего диагонального сечения $S_{диг, мин}$ равна произведению меньшей диагонали основания на высоту $h$:

$S_{диг, мин} = d_1 \cdot h$

$65 \text{ м}^2 = 13 \text{ м} \cdot h$

$h = \frac{65}{13} = 5 \text{ м}$

3. Найдем полную площадь поверхности $S$:

Формула та же: $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

$S_{осн} = 8 \text{ м} \cdot 15 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ)$

$S_{осн} = 120 \text{ м}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{осн} = 60\sqrt{3} \text{ м}^2$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$:

$P_{осн} = 2(a+b)$

$P_{осн} = 2(8 \text{ м} + 15 \text{ м}) = 2(23 \text{ м}) = 46 \text{ м}$

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = 46 \text{ м} \cdot 5 \text{ м}$

$S_{бок} = 230 \text{ м}^2$

Полная площадь поверхности $S$:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

$S = 2 \cdot 60\sqrt{3} \text{ м}^2 + 230 \text{ м}^2$

$S = (120\sqrt{3} + 230) \text{ м}^2$

Ответ: $(120\sqrt{3} + 230) \text{ м}^2$