Номер 47, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

47. Сторона основания и высота правильной четырехугольной призмы равны $a$ и $h$ соответственно. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и наклоненную к нему под углом $\alpha$ ($\alpha$ – переменная величина).

Дано:

Сторона основания правильной четырехугольной призмы: $a$
Высота призмы: $h$
Угол наклона секущей плоскости к основанию: $\alpha$

Данные представлены в символьном виде. Параметры $a$ и $h$ выражены в единицах длины (например, метрах), а угол $\alpha$ в радианах или градусах. Перевод в систему СИ не требуется, поскольку значения не числовые.

Найти:

Площадь сечения призмы: $S_{сеч}$

Решение:

Правильная четырехугольная призма имеет в основании квадрат со стороной $a$. Боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основанию. Высота призмы равна $h$.

Секущая плоскость проходит через одну из сторон основания, пусть это будет сторона $AB$. Длина этой стороны равна $a$. Сечение, образованное такой плоскостью, будет прямоугольником. Одна из сторон этого прямоугольника совпадает со стороной основания $AB$, т.е. имеет длину $a$.

Пусть $AB$ - сторона нижнего основания. Рассмотрим боковую грань, примыкающую к $AB$, например, $BCC'B'$. Линия $BC$ лежит в плоскости основания, перпендикулярна $AB$, и ее длина равна $a$.

Пусть секущая плоскость пересекает ребро $CC'$ в точке $P$. Тогда $BP$ является второй стороной прямоугольного сечения, и $BP \perp AB$.

Угол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен $\alpha$. Этот угол измеряется между двумя линиями, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения ($AB$). Следовательно, угол между отрезком $BC$ (лежащим в плоскости основания) и отрезком $BP$ (лежащим в секущей плоскости) равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $B$, $C$ и $P$. Катет $BC$ лежит в плоскости основания и имеет длину $a$. Катет $PC$ - это высота точки $P$ над плоскостью основания. Гипотенуза $BP$ - это длина второй стороны сечения.

Из определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: $\cos \alpha = \frac{BC}{BP} = \frac{a}{BP}$. Таким образом, длина второй стороны сечения: $BP = \frac{a}{\cos \alpha} = a \sec \alpha$.

Высота точки $P$ над основанием определяется как: $\tan \alpha = \frac{PC}{BC} = \frac{PC}{a}$. Отсюда $PC = a \tan \alpha$.

Возможны два случая в зависимости от соотношения между $a, h$ и $\alpha$:

Случай 1: Плоскость полностью проходит через боковые грани.
Этот случай имеет место, если высота, на которую поднимается секущая плоскость на расстоянии $a$ от $AB$, не превышает высоту призмы $h$. То есть, точка $P$ находится на ребре $CC'$ (или ниже верхнего основания). Условие: $PC \le h \Rightarrow a \tan \alpha \le h$. В этом случае сечением является прямоугольник со сторонами $a$ и $a \sec \alpha$. Площадь сечения $S_{сеч} = a \cdot (a \sec \alpha) = a^2 \sec \alpha$.

Случай 2: Плоскость пересекает верхнее основание призмы.
Этот случай имеет место, если $a \tan \alpha > h$. Это означает, что секущая плоскость достигает высоты $h$ (уровня верхнего основания) на расстоянии от $AB$, меньшем чем $a$. Таким образом, сечение пересекает верхнее основание. Максимальная высота, которую может достичь сечение, составляет $h$. Пусть $y_{int}$ - расстояние от $AB$ в плоскости основания до линии пересечения секущей плоскости с верхним основанием. В прямоугольном треугольнике, где высота $h$ является противолежащим катетом, а $y_{int}$ - прилежащим, получаем: $\tan \alpha = \frac{h}{y_{int}}$. Отсюда $y_{int} = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$. Длина второй стороны сечения ($L_{сеч}$) - это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где один катет равен $h$ (высота призмы), а другой катет равен $y_{int}$ (проекция этой стороны на основание). $\sin \alpha = \frac{h}{L_{сеч}}$. Отсюда $L_{сеч} = \frac{h}{\sin \alpha} = h \csc \alpha$. Сечением в этом случае также является прямоугольник со сторонами $a$ и $h \csc \alpha$. Площадь сечения $S_{сеч} = a \cdot (h \csc \alpha) = ah \csc \alpha$.

Ответ:

Площадь сечения призмы определяется по формуле: $S_{сеч} = \begin{cases} a^2 \sec \alpha, & \text{если } a \tan \alpha \le h \\ ah \csc \alpha, & \text{если } a \tan \alpha > h \end{cases}$