Номер 44, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

44. Докажите, что:

а) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен полусумме квадратов трех диагоналей граней, выходящих из одной вершины;

б) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме ортогональных проекций трех его ребер, выходящих из одной вершины, на диагональ параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с измерениями (длинами рёбер), исходящих из одной вершины, равными $a$, $b$, $c$.

Найти:

Доказать утверждения а) и б).

Решение:

а) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен полусумме квадратов трех диагоналей граней, выходящих из одной вершины;

Пусть длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$, $c$.

Квадрат длины пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда определяется по теореме Пифагора, примененной дважды (сначала для диагонали основания, затем для диагонали параллелепипеда): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Из одной вершины выходят три грани. Каждая из этих граней является прямоугольником. Диагонали этих граней могут быть найдены по теореме Пифагора:

• Диагональ грани с рёбрами $a$ и $b$: $d_{ab}^2 = a^2 + b^2$.

• Диагональ грани с рёбрами $a$ и $c$: $d_{ac}^2 = a^2 + c^2$.

• Диагональ грани с рёбрами $b$ и $c$: $d_{bc}^2 = b^2 + c^2$.

Рассмотрим полусумму квадратов этих трёх диагоналей граней:

$\frac{1}{2}(d_{ab}^2 + d_{ac}^2 + d_{bc}^2) = \frac{1}{2}((a^2 + b^2) + (a^2 + c^2) + (b^2 + c^2))$

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

$\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2)$

Выносим общий множитель 2:

$\frac{1}{2} \cdot 2(a^2 + b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2$.

Таким образом, мы получили, что полусумма квадратов диагоналей граней равна $a^2 + b^2 + c^2$, что, как известно, является квадратом длины пространственной диагонали $d$ параллелепипеда ($d^2 = a^2 + b^2 + c^2$).

Следовательно, $d^2 = \frac{1}{2}(d_{ab}^2 + d_{ac}^2 + d_{bc}^2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

б) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме ортогональных проекций трех его ребер, выходящих из одной вершины, на диагональ параллелепипеда.

Расположим одну из вершин прямоугольного параллелепипеда в начале координат $(0,0,0)$ декартовой системы координат.

Пусть длины рёбер, выходящих из этой вершины, равны $a$, $b$, $c$ и направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Тогда векторы этих рёбер будут:

• $\vec{r_a} = (a, 0, 0)$

• $\vec{r_b} = (0, b, 0)$

• $\vec{r_c} = (0, 0, c)$

Вектор пространственной диагонали $\vec{d}$, выходящий из той же вершины, будет суммой этих векторов (по правилу параллелепипеда):

$\vec{d} = \vec{r_a} + \vec{r_b} + \vec{r_c} = (a, b, c)$.

Длина этой диагонали (её модуль): $|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Ортогональная проекция вектора $\vec{v}$ на вектор $\vec{u}$ (обозначим её $P_{\vec{u}}\vec{v}$) вычисляется по формуле:

$P_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{|\vec{u}|}$.

Вычислим ортогональные проекции каждого из трёх рёбер $\vec{r_a}$, $\vec{r_b}$, $\vec{r_c}$ на вектор диагонали $\vec{d}$:

• Проекция ребра $\vec{r_a}$ на $\vec{d}$ (обозначим $P_a$):

  $P_a = \frac{\vec{r_a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(a, 0, 0) \cdot (a, b, c)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

• Проекция ребра $\vec{r_b}$ на $\vec{d}$ (обозначим $P_b$):

  $P_b = \frac{\vec{r_b} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(0, b, 0) \cdot (a, b, c)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{0 \cdot a + b \cdot b + 0 \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

• Проекция ребра $\vec{r_c}$ на $\vec{d}$ (обозначим $P_c$):

  $P_c = \frac{\vec{r_c} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|} = \frac{(0, 0, c) \cdot (a, b, c)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{0 \cdot a + 0 \cdot b + c \cdot c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Теперь просуммируем эти ортогональные проекции:

$P_a + P_b + P_c = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} + \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} + \frac{c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Объединяем дроби с общим знаменателем:

$P_a + P_b + P_c = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Заметим, что числитель $a^2 + b^2 + c^2$ можно представить как $(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2$. Тогда:

$P_a + P_b + P_c = \frac{(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Мы получили, что сумма ортогональных проекций трёх рёбер на диагональ равна $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, что в точности соответствует длине диагонали $|\vec{d}|$.

Следовательно, $|\vec{d}| = P_a + P_b + P_c$, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.