Номер 42, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

42. а) Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием наклонена к нему под углом $60^\circ$. Найдите синус угла между этой диагональю и боковой гранью параллелепипеда.

б) Диагональ прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием образует с его боковой гранью угол $30^\circ$. Найдите угол между этой диагональю и плоскостью основания параллелепипеда.

a)

Дано:

прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием;

угол наклона диагонали параллелепипеда к плоскости основания $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

синус угла $\beta$ между диагональю параллелепипеда и боковой гранью.

Решение:

Пусть сторона квадратного основания параллелепипеда равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$.

Диагональ основания $d_{осн}$ для квадратного основания со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

Обозначим пространственную диагональ параллелепипеда как $D$.

Угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда $D$ и плоскостью основания определяется как угол между диагональю $D$ и ее проекцией на плоскость основания (диагональю основания $d_{осн}$). В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, диагональю основания $d_{осн}$ и пространственной диагональю $D$, справедливо соотношение:

$\cos \alpha = \frac{d_{осн}}{D}$

По условию, $\alpha = 60^\circ$. Подставим значения:

$\cos 60^\circ = \frac{a\sqrt{2}}{D}$

$\frac{1}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{D}$

Отсюда выразим $D$:

$D = 2a\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим угол $\beta$ между диагональю $D$ и боковой гранью. Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Если рассмотреть вершину параллелепипеда, через которую проходит диагональ, и ее проекцию на боковую грань, то расстояние от этой вершины до боковой грани будет равно стороне основания $a$ (которая перпендикулярна этой грани). Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, где гипотенузой является диагональ $D$, а катетом, противолежащим углу $\beta$, является сторона $a$.

Следовательно, синус угла $\beta$ равен:

$\sin \beta = \frac{a}{D}$.

Подставим ранее найденное значение $D = 2a\sqrt{2}$:

$\sin \beta = \frac{a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\sin \beta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

б)

Дано:

прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием;

угол наклона диагонали параллелепипеда к боковой грани $\beta = 30^\circ$.

Найти:

угол $\alpha$ между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Решение:

Пусть сторона квадратного основания параллелепипеда равна $a$, а высота параллелепипеда равна $h$.

Обозначим пространственную диагональ параллелепипеда как $D$.

Мы используем соотношения для углов, выведенные в предыдущей задаче:

Синус угла $\alpha$ между диагональю $D$ и плоскостью основания: $\sin \alpha = \frac{h}{D}$.

Синус угла $\beta$ между диагональю $D$ и боковой гранью: $\sin \beta = \frac{a}{D}$.

По условию, $\beta = 30^\circ$. Подставим это значение во второе соотношение:

$\sin 30^\circ = \frac{a}{D}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{D}$

Отсюда выразим $D$:

$D = 2a$.

Для прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием (сторона $a$, высота $h$) справедливо соотношение для пространственной диагонали, исходящее из теоремы Пифагора:

$D^2 = a^2 + a^2 + h^2$

$D^2 = 2a^2 + h^2$.

Подставим найденное значение $D = 2a$ в это уравнение:

$(2a)^2 = 2a^2 + h^2$

$4a^2 = 2a^2 + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 4a^2 - 2a^2$

$h^2 = 2a^2$

Извлечем корень:

$h = a\sqrt{2}$.

Теперь, когда мы знаем $h$ и $D$ в терминах $a$, мы можем найти $\sin \alpha$:

$\sin \alpha = \frac{h}{D} = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$