Номер 36, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

36. Докажите, что если плоскости диагональных сечений прямого параллелепипеда перпендикулярны, то его основанием является ромб.

Дано:

Прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскости диагональных сечений $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ перпендикулярны.

Найти:

Доказать, что основанием параллелепипеда является ромб.

Решение

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$.

Диагональными сечениями являются прямоугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

Обозначим $O$ точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания $ABCD$.

Обозначим $O_1$ точку пересечения диагоналей $A_1C_1$ и $B_1D_1$ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Линией пересечения плоскостей диагональных сечений $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ является прямая $OO_1$.

Поскольку параллелепипед является прямым, его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания $ABCD$. Это означает, что $AA_1 \perp ABCD$.

Прямая $OO_1$ параллельна боковому ребру $AA_1$ (так как $OO_1$ соединяет центры параллельных граней, и следовательно, она перпендикулярна этим граням, то есть параллельна боковым рёбрам). Следовательно, $OO_1 \perp ABCD$.

Так как $OO_1$ перпендикулярна плоскости $ABCD$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $OO_1 \perp AC$ и $OO_1 \perp BD$.

Рассмотрим прямую $AC$. Она лежит в плоскости $ACC_1A_1$, проходит через точку $O$ на линии пересечения $OO_1$, и $AC \perp OO_1$.

Рассмотрим прямую $BD$. Она лежит в плоскости $BDD_1B_1$, проходит через точку $O$ на линии пересечения $OO_1$, и $BD \perp OO_1$.

По определению, угол между двумя плоскостями равен углу между прямыми, проведёнными в каждой плоскости перпендикулярно линии их пересечения через общую точку на этой линии.

Следовательно, угол между плоскостями $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $BD$.

По условию задачи, плоскости диагональных сечений перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$.

Таким образом, угол между диагоналями $AC$ и $BD$ основания $ABCD$ равен $90^\circ$, то есть $AC \perp BD$.

Основание параллелепипеда $ABCD$ является параллелограммом. Известно, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Ответ: Доказано, что если плоскости диагональных сечений прямого параллелепипеда перпендикулярны, то его основанием является ромб.