Номер 65, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

65. Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, каждое ребро которой равно 9 см. Найдите:

а) плоский угол пирамиды при ее вершине $S$;

б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

в) косинус угла наклона боковой грани к плоскости основания;

г) высоту пирамиды.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Длина каждого ребра (сторона основания $a$ и боковое ребро $l$) $a = l = 9$ см.

Перевод в СИ:

$a = 9$ см $= 0.09$ м

$l = 9$ см $= 0.09$ м

Найти:

а) плоский угол пирамиды при ее вершине S

б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания

в) косинус угла наклона боковой грани к плоскости основания

г) высоту пирамиды

Решение:

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основанием $ABCD$ является квадрат, а вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Все боковые ребра равны, и все стороны основания равны.

Нам дано, что $a = 9$ см (сторона основания) и $l = 9$ см (боковое ребро).

а) плоский угол пирамиды при ее вершине S;

Плоскими углами при вершине $S$ являются углы боковых граней, например, $\angle ASB$. Рассмотрим треугольник $SAB$. Его стороны $SA$, $SB$ и $AB$ являются ребрами пирамиды. По условию, $SA = SB = AB = 9$ см.

Так как все три стороны треугольника $SAB$ равны, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, плоский угол при вершине $S$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

Угол наклона бокового ребра $SA$ к плоскости основания $ABCD$ - это угол между ребром $SA$ и его проекцией $AO$ на плоскость основания, то есть $\angle SAO$.

Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является центр квадрата $O$. Поэтому $SO$ - высота пирамиды.

Треугольник $SAO$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $O$.

Длина бокового ребра $SA = l = 9$ см.

Длина отрезка $AO$ равна половине диагонали основания $AC$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

$AC = 9\sqrt{2}$ см.

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

В прямоугольном треугольнике $SAO$ косинус угла $\angle SAO$ равен отношению прилежащего катета $AO$ к гипотенузе $SA$:

$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{9} = \frac{9\sqrt{2}}{2 \cdot 9} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Известно, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Следовательно, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) косинус угла наклона боковой грани к плоскости основания;

Угол наклона боковой грани $SAB$ к плоскости основания $ABCD$ - это угол между апофемой боковой грани $SM$ (где $M$ - середина $AB$) и отрезком $OM$ (который является радиусом вписанной окружности в основание, или апофемой основания).

Треугольник $SOM$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $O$.

Длина отрезка $OM$ равна половине стороны квадрата $AB$:

$OM = \frac{a}{2} = \frac{9}{2}$ см.

Длина апофемы боковой грани $SM$. Так как треугольник $SAB$ равносторонний (как показано в пункте а)), $SM$ - это высота равностороннего треугольника со стороной $a$.

$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ см.

Косинус угла наклона боковой грани $\angle SMO$ равен отношению прилежащего катета $OM$ к гипотенузе $SM$:

$\cos(\angle SMO) = \frac{OM}{SM} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{9\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{9\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) высоту пирамиды.

Высота пирамиды - это отрезок $SO$. Мы можем найти ее из прямоугольного треугольника $SAO$ или $SOM$.

Используем треугольник $SAO$:

По теореме Пифагора: $SO^2 = SA^2 - AO^2$.

$SO^2 = 9^2 - \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 81 - \frac{81 \cdot 2}{4} = 81 - \frac{81}{2} = \frac{162 - 81}{2} = \frac{81}{2}$.

$SO = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

Или, используя треугольник $SOM$:

По теореме Пифагора: $SO^2 = SM^2 - OM^2$.

$SO^2 = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81 \cdot 3}{4} - \frac{81}{4} = \frac{243 - 81}{4} = \frac{162}{4} = \frac{81}{2}$.

$SO = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$ см