Номер 66, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

66. В правильной треугольной пирамиде $DABC$ плоские углы при вершине $D$ прямые, а сторона основания $ABC$ равна 12 см. Найдите:

а) апофему пирамиды;

б) угол между ее ребром $BC$ и медианой $DM$ грани $DAB$;

в) высоту пирамиды.

Дано:
Пирамида $DABC$ - правильная треугольная.
Плоские углы при вершине $D$ прямые: $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 90^\circ$.
Сторона основания $ABC$: $AB = BC = CA = a = 12$ см.

Перевод в СИ:
Сторона основания $a = 12$ см $= 0.12$ м. (Для данной задачи удобно оставить в см).

Найти:
а) апофему пирамиды ($h_a$);
б) угол между ребром $BC$ и медианой $DM$ грани $DAB$;
в) высоту пирамиды ($H$).

Решение:

Поскольку пирамида $DABC$ правильная, ее основание $ABC$ - равносторонний треугольник. Так как плоские углы при вершине $D$ прямые ($\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 90^\circ$), а боковые грани являются равнобедренными треугольниками (так как пирамида правильная, $DA=DB=DC$), то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными. Обозначим длину бокового ребра через $x$. Тогда $DA=DB=DC=x$. Рассмотрим грань $DAB$. $\triangle DAB$ - прямоугольный, с гипотенузой $AB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = DA^2 + DB^2$. $a^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$. Подставим значение $a = 12$ см: $12^2 = 2x^2$
$144 = 2x^2$
$x^2 = 72$
$x = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см. Итак, длины боковых ребер: $DA = DB = DC = 6\sqrt{2}$ см.

а) апофему пирамиды
Апофема пирамиды - это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания. Рассмотрим грань $DAB$. Она является равнобедренным прямоугольным треугольником ($DA=DB=6\sqrt{2}$ см, $\angle ADB = 90^\circ$). Медиана $DM$ в грани $DAB$ (где $M$ - середина $AB$) является апофемой пирамиды. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому $DM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Ответ: $6$ см.

б) угол между ее ребром $BC$ и медианой $DM$ грани $DAB$
Для нахождения угла между двумя скрещивающимися прямыми $BC$ и $DM$, найдем прямую, параллельную одной из них и пересекающую другую. Пусть $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $AC$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Теперь задача сводится к нахождению угла между прямыми $DM$ и $MN$. Рассмотрим треугольник $DMN$. Мы уже знаем: 1. $DM = 6$ см (апофема из пункта а). 2. $MN = 6$ см. Найдем $DN$. $DN$ - медиана в грани $DAC$. Так как $\triangle DAC$ - равнобедренный прямоугольный ($DA=DC=6\sqrt{2}$ см, $\angle CDA = 90^\circ$), то $DN$ является медианой, проведенной к гипотенузе $AC$. $DN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Таким образом, в $\triangle DMN$ все стороны равны: $DM = MN = DN = 6$ см. Следовательно, $\triangle DMN$ является равносторонним треугольником. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Значит, угол между $DM$ и $MN$ (а значит, и между $DM$ и $BC$) равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

в) высоту пирамиды
Высота пирамиды $H = DO$, где $O$ - центр основания $\triangle ABC$. В правильной треугольной пирамиде проекция вершины на основание ($O$) совпадает с центром вписанной и описанной окружностей основания, а также с точкой пересечения медиан (центроидом) основания. Рассмотрим $\triangle ABC$. $M$ - середина $AB$. $CM$ - медиана основания. Длина медианы равностороннего треугольника: $CM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Точка $O$ делит медиану $CM$ в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому $OM = \frac{1}{3} CM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$. Угол $\angle DOM = 90^\circ$, так как $DO$ - высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания. По теореме Пифагора: $DO^2 + OM^2 = DM^2$. $H^2 + (2\sqrt{3})^2 = 6^2$
$H^2 + (4 \cdot 3) = 36$
$H^2 + 12 = 36$
$H^2 = 36 - 12$
$H^2 = 24$
$H = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$ см.
Ответ: $2\sqrt{6}$ см.