Номер 67, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

67. a) Найдите боковое ребро правильной треугольной пирамиды, если площадь ее боковой поверхности равна $48 \text{ см}^2$, а сторона основания $8 \text{ см}$.

б) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна $10 \text{ см}$, а плоский угол при вершине $60^\circ$.

a)

Дано:

правильная треугольная пирамида

площадь боковой поверхности $A_b = 48 \text{ см}^2$

сторона основания $a = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$A_b = 48 \text{ см}^2 = 48 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 0.0048 \text{ м}^2$

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

боковое ребро $L$

Решение:

боковая поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из трех равных равнобедренных треугольников (боковых граней). площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $A_b = \frac{1}{2} P_b h_a$, где $P_b$ - периметр основания, а $h_a$ - апофема (высота боковой грани).

периметр основания для правильной треугольной пирамиды: $P_b = 3a$.

подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности:

$48 \text{ см}^2 = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 8 \text{ см}) \cdot h_a$

$48 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot h_a$

$48 = 12 \cdot h_a$

отсюда находим апофему $h_a$:

$h_a = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}$

для нахождения бокового ребра $L$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, половиной стороны основания $\frac{a}{2}$ и боковым ребром $L$ (гипотенуза). по теореме пифагора:

$L^2 = h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

подставим значения:

$L^2 = (4 \text{ см})^2 + \left(\frac{8 \text{ см}}{2}\right)^2$

$L^2 = 4^2 + 4^2$

$L^2 = 16 + 16$

$L^2 = 32$

$L = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}$ или $0.04\sqrt{2} \text{ м}$

б)

Дано:

правильная треугольная пирамида

сторона основания $a = 10 \text{ см}$

плоский угол при вершине $\alpha = 60^{\circ}$

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

угол остается $60^{\circ}$

Найти:

площадь боковой поверхности $A_b$

Решение:

правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник, и ее боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

плоский угол при вершине - это угол между двумя боковыми ребрами в каждой боковой грани. так как этот угол равен $60^{\circ}$ и боковые грани являются равнобедренными треугольниками (боковые ребра $L$ равны), то углы при основании боковой грани также будут равны $\frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$. таким образом, каждая боковая грань является равносторонним треугольником.

следовательно, боковое ребро $L$ равно стороне основания $a$.

$L = a = 10 \text{ см}$

площадь одной боковой грани (равностороннего треугольника со стороной $a$) вычисляется по формуле $S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

$S_{грани} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (10 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$

площадь боковой поверхности $A_b$ состоит из трех таких граней:

$A_b = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 25\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $75\sqrt{3} \text{ см}^2$ или $0.0075\sqrt{3} \text{ м}^2$