Номер 74, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

74. Основание пирамиды – ромб с углом $45^{\circ}$. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен $\sqrt{2}$ дм.

Дано:

Радиус вписанной в ромб окружности $r = \sqrt{2}$ дм

Угол ромба $\alpha = 45^\circ$

Угол наклона боковых граней к плоскости основания $\beta = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$r = \sqrt{2}$ дм $= \sqrt{2} \cdot 0.1$ м

$\alpha = 45^\circ$

$\beta = 60^\circ$

Найти:

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$

Решение:

1. Найдем сторону ромба $a$. Радиус вписанной окружности в ромб связан со стороной ромба $a$ и углом $\alpha$ формулой: $r = \frac{a \sin \alpha}{2}$.

Выразим сторону ромба $a$ из этой формулы: $a = \frac{2r}{\sin \alpha}$.

Подставим известные значения: $r = \sqrt{2}$ дм, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$a = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 4$ дм.

2. Найдем апофему пирамиды $h_a$. Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, высота пирамиды опускается в центр вписанной в основание окружности. Угол наклона боковой грани $\beta$ к основанию – это угол между апофемой грани и радиусом вписанной окружности, проведенным к точке касания стороны ромба с окружностью.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом вписанной окружности $r$ (являющимся проекцией апофемы на плоскость основания) и апофемой $h_a$. В этом треугольнике $r$ является прилежащим катетом к углу $\beta$, а $h_a$ – гипотенузой.

Используем тригонометрическое соотношение: $\cos \beta = \frac{r}{h_a}$.

Выразим апофему $h_a$: $h_a = \frac{r}{\cos \beta}$.

Подставим известные значения: $r = \sqrt{2}$ дм, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

$h_a = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$ дм.

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания $P_{осн}$ на апофему $h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$.

Периметр основания – ромба со стороной $a$ – равен $P_{осн} = 4a$.

$P_{осн} = 4 \cdot 4 = 16$ дм.

Теперь подставим значения $P_{осн}$ и $h_a$ в формулу для $S_{бок}$:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$ дм$^2$.

Ответ: $16\sqrt{2}$ дм$^2$.