Номер 71, страница 37 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

71. a) Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см, а проекцией вершины пирамиды на плоскость основания является точка пересечения его диагоналей. Найдите площадь полной поверхности этой пирамиды, если ее высота равна 8 см.

b) Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна на 10 см, а угол между боковой гранью и плоскостью основания $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

a)

Дано:

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами $a = 12 \text{ см}$, $b = 5 \text{ см}$.

Высота пирамиды $H = 8 \text{ см}$.

Проекция вершины пирамиды на плоскость основания является точкой пересечения его диагоналей.

Перевод всех данных в систему СИ:

$a = 0.12 \text{ м}$

$b = 0.05 \text{ м}$

$H = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания.

Основание – прямоугольник, поэтому площадь основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = a \cdot b$.

$S_{осн} = 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Так как проекция вершины находится в точке пересечения диагоналей прямоугольника, боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Площадь боковой поверхности состоит из двух пар одинаковых треугольников.

Для первой пары граней (с основанием $b=5 \text{ см}$):

Расстояние от центра основания до середины стороны $a$ равно $r_a = a/2 = 12 \text{ см} / 2 = 6 \text{ см}$.

Апофема $h_a$ (высота боковой грани с основанием $b$) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, расстоянием $r_a$ и апофемой $h_a$. По теореме Пифагора:

$h_a = \sqrt{H^2 + r_a^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Площадь двух таких граней: $S_1 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_a = b \cdot h_a = 5 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}^2$.

Для второй пары граней (с основанием $a=12 \text{ см}$):

Расстояние от центра основания до середины стороны $b$ равно $r_b = b/2 = 5 \text{ см} / 2 = 2.5 \text{ см}$.

Апофема $h_b$ (высота боковой грани с основанием $a$) находится из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, расстоянием $r_b$ и апофемой $h_b$. По теореме Пифагора:

$h_b = \sqrt{H^2 + r_b^2} = \sqrt{8^2 + (2.5)^2} = \sqrt{64 + 6.25} = \sqrt{70.25} \text{ см}$.

Площадь двух таких граней: $S_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = a \cdot h_b = 12 \text{ см} \cdot \sqrt{70.25} \text{ см} = 12\sqrt{70.25} \text{ см}^2$.

Заметим, что $70.25 = \frac{281}{4}$, тогда $12\sqrt{\frac{281}{4}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{281}}{2} = 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

Общая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_1 + S_2 = 50 + 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

3. Найдем полную площадь поверхности.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 60 + (50 + 6\sqrt{281}) = 110 + 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

Ответ: $110 + 6\sqrt{281} \text{ см}^2$.

б)

Дано:

Пирамида – правильная четырехугольная.

Диагональ основания $d = 10 \text{ см}$.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$.

Перевод всех данных в систему СИ:

$d = 0.1 \text{ м}$

$\alpha = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$.

Решение:

Для правильной четырехугольной пирамиды основание является квадратом. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a$, где $P_{осн}$ – периметр основания, $h_a$ – апофема пирамиды (высота боковой грани).

1. Найдем сторону квадрата основания $a$.

Для квадрата сторона $a$ связана с диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

2. Найдем периметр основания.

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Найдем апофему основания $r$ (расстояние от центра квадрата до середины стороны).

$r = \frac{a}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$.

4. Найдем апофему пирамиды $h_a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой основания $r$ и апофемой пирамиды $h_a$. Угол между боковой гранью и плоскостью основания – это угол $\alpha$ между апофемой пирамиды $h_a$ и апофемой основания $r$.

По определению косинуса: $\cos \alpha = \frac{r}{h_a}$.

$h_a = \frac{r}{\cos \alpha} = \frac{5\sqrt{2}/2}{\cos 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 5 \text{ см}$.

5. Найдем площадь боковой поверхности.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{2} \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 10\sqrt{2} \cdot 5 = 50\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $50\sqrt{2} \text{ см}^2$.