Номер 68, страница 36 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

68. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. Какую длину имеет высота этой пирамиды, если площадь ее полной поверхности равна $96 \text{ см}^2$?

Дано

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды: $a = 6 \text{ см}$

Площадь полной поверхности пирамиды: $S_{полн} = 96 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

Сторона основания: $a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Площадь полной поверхности: $S_{полн} = 96 \text{ см}^2 = 0.0096 \text{ м}^2$

Найти:

Высота пирамиды: $h$

Решение

1. Найдем площадь основания пирамиды. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основание - квадрат со стороной $a$.

$S_{осн} = a^2$

$S_{осн} = (6 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2$

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Отсюда, $S_{бок} = S_{полн} - S_{осн}$

$S_{бок} = 96 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2 = 60 \text{ см}^2$

3. Найдем периметр основания пирамиды:

$P_{осн} = 4a$

$P_{осн} = 4 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}$

4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды также можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$, где $l$ - апофема (высота боковой грани).

Выразим апофему $l$ из этой формулы:

$l = \frac{2 \cdot S_{бок}}{P_{осн}}$

$l = \frac{2 \cdot 60 \text{ см}^2}{24 \text{ см}} = \frac{120 \text{ см}^2}{24 \text{ см}} = 5 \text{ см}$

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания, то есть $a/2$.

$a/2 = 6 \text{ см} / 2 = 3 \text{ см}$

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (a/2)^2$

Выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - (a/2)^2$

$h^2 = (5 \text{ см})^2 - (3 \text{ см})^2$

$h^2 = 25 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2$

$h^2 = 16 \text{ см}^2$

$h = \sqrt{16 \text{ см}^2}$

$h = 4 \text{ см}$

Ответ: $h = 4 \text{ см}$.