Номер 25, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

25. Выберите неверное утверждение:

а) куб является прямоугольным параллелепипедом;

б) все грани куба равны;

в) диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$;

г) диагональное сечение куба является квадратом.

а) куб является прямоугольным параллелепипедом
Куб - это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все грани являются квадратами. Прямоугольный параллелепипед определяется как многогранник, все грани которого - прямоугольники. Поскольку все грани куба являются квадратами (а квадрат - это частный случай прямоугольника), куб удовлетворяет определению прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: Утверждение верно.

б) все грани куба равны
Куб состоит из шести граней, каждая из которых является квадратом. По определению куба, все его рёбра имеют одинаковую длину $a$. Следовательно, все грани являются квадратами со стороной $a$, а значит, они конгруэнтны (равны).
Ответ: Утверждение верно.

в) диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt{3}$
Пусть $a$ - длина ребра куба. Рассмотрим пространственную диагональ куба $D$.
Сначала найдём диагональ грани $d_{грани}$. Грани куба - это квадраты. По теореме Пифагора для квадрата со стороной $a$:
$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$d_{грани} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный ребром куба $a$, диагональю грани $d_{грани}$ и пространственной диагональю $D$. Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро перпендикулярно грани, содержащей $d_{грани}$. По теореме Пифагора:
$D^2 = d_{грани}^2 + a^2$
Подставим значение $d_{грани}$:
$D^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$
$D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$
Ответ: Утверждение верно.

г) диагональное сечение куба является квадратом
Диагональное сечение куба - это сечение, проходящее через два противоположных ребра, не лежащих в одной грани. Например, если взять куб с вершинами A, B, C, D (нижнее основание) и A', B', C', D' (верхнее основание), то диагональным сечением будет прямоугольник ACC'A'.
Длины сторон этого прямоугольника будут:
Одна сторона - это ребро куба, например, $AA' = a$.
Другая сторона - это диагональ грани, например, $AC$. Диагональ грани $AC$ (для квадрата со стороной $a$) равна $a\sqrt{2}$.
Таким образом, диагональное сечение имеет размеры $a$ на $a\sqrt{2}$.
Так как $a \neq a\sqrt{2}$ (если $a \neq 0$), это сечение является прямоугольником, но не квадратом.
Ответ: Утверждение неверно.

Неверное утверждение: г) диагональное сечение куба является квадратом.