Номер 27, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

27. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рисунок 41):

a) $AB_1 || (D_1DC)$;

б) $A_1D_1 \perp C_1D$;

в) $AB_1C_1D$ - прямоугольник;

г) диагональные сечения равны.

Рисунок 41

а) $AB_1 || (D_1DC)$

Решение

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются прямоугольниками. Противоположные грани параллельны.

Грань $ABB_1A_1$ является одной из боковых граней параллелепипеда.

Грань $DCC_1D_1$ является противоположной ей боковой гранью. Следовательно, плоскость, содержащая грань $ABB_1A_1$, параллельна плоскости, содержащей грань $DCC_1D_1$.

Плоскость $(D_1DC)$ по определению точек $D_1$, $D$, $C$ является плоскостью грани $DCC_1D_1$.

Линия $AB_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

Согласно теореме о параллельности прямой и плоскости: если плоскость содержит прямую и параллельна другой плоскости (и прямая не лежит в этой другой плоскости), то прямая параллельна этой другой плоскости.

Таким образом, так как плоскость $ABB_1A_1$ параллельна плоскости $(D_1DC)$, и прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, то прямая $AB_1$ параллельна плоскости $(D_1DC)$.

Ответ: Доказано.

б) $A_1D_1 \perp C_1D$

Решение

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются прямоугольниками, а боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим ребро $AD$. Оно лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$ и в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$.

Поскольку $ABCD$ - прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, то есть $AD \perp DC$.

Поскольку $ADD_1A_1$ - прямоугольник, его смежные стороны перпендикулярны, то есть $AD \perp DD_1$.

Прямые $DC$ и $DD_1$ лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$ и пересекаются в точке $D$.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $CDD_1C_1$.

Прямая $C_1D$ является диагональю прямоугольника $CDD_1C_1$ и, следовательно, лежит в плоскости $CDD_1C_1$.

Так как $AD$ перпендикулярна плоскости $CDD_1C_1$, то $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $C_1D$. Значит, $AD \perp C_1D$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны. Ребро $A_1D_1$ параллельно ребру $AD$. То есть, $A_1D_1 || AD$.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой.

Таким образом, так как $A_1D_1 || AD$ и $AD \perp C_1D$, то $A_1D_1 \perp C_1D$.

Ответ: Доказано.

в) $AB_1C_1D$ - прямоугольник

Решение

Рассмотрим четырёхугольник $AB_1C_1D$. Чтобы доказать, что он является прямоугольником, достаточно показать, что это параллелограмм с одним прямым углом.

1. Докажем, что $AB_1C_1D$ - параллелограмм.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются прямоугольниками. Следовательно, $ABCD$ - прямоугольник, и $BCC_1B_1$ - прямоугольник.

Из свойств прямоугольника $ABCD$ следует, что $AD || BC$ и $AD = BC$.

Из свойств прямоугольника $BCC_1B_1$ следует, что $B_1C_1 || BC$ и $B_1C_1 = BC$.

Из этих двух утверждений следует, что $AD || B_1C_1$ и $AD = B_1C_1$.

Поскольку в четырёхугольнике $AB_1C_1D$ две противоположные стороны ($AD$ и $B_1C_1$) параллельны и равны, этот четырёхугольник является параллелограммом.

2. Докажем, что у параллелограмма $AB_1C_1D$ есть прямой угол.

Рассмотрим угол $ADC_1$.

В пункте б) данной задачи мы доказали, что прямая $AD$ перпендикулярна прямой $C_1D$. Это означает, что угол между сторонами $AD$ и $C_1D$ четырёхугольника $AB_1C_1D$ равен $90^\circ$.

Поскольку $AB_1C_1D$ является параллелограммом и имеет прямой угол, он является прямоугольником.

Ответ: Доказано.

г) диагональные сечения равны

Решение

В контексте прямоугольного параллелепипеда под «диагональными сечениями», которые всегда равны, обычно подразумевают сечения, проходящие через диагональ основания и соответствующие боковые рёбра. Это сечения $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$.

1. Рассмотрим диагональное сечение $ACC_1A_1$.

Это сечение проходит через диагональ основания $AC$ и боковые рёбра $AA_1$ и $CC_1$. Поскольку боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны плоскости основания, то $AA_1 \perp AC$. Следовательно, $ACC_1A_1$ является прямоугольником.

Стороны этого прямоугольника: $AA_1$ (высота параллелепипеда) и $AC$ (диагональ основания $ABCD$). Длину диагонали $AC$ можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$.

2. Рассмотрим диагональное сечение $BDD_1B_1$.

Это сечение проходит через диагональ основания $BD$ и боковые рёбра $BB_1$ и $DD_1$. Аналогично, $BDD_1B_1$ является прямоугольником.

Стороны этого прямоугольника: $BB_1$ (высота параллелепипеда) и $BD$ (диагональ основания $ABCD$). Длину диагонали $BD$ можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCD$: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2}$.

3. Сравнение сечений.

В прямоугольном параллелепипеде все боковые рёбра равны. Следовательно, $AA_1 = BB_1$.

В прямоугольном основании $ABCD$ диагонали равны. Следовательно, $AC = BD$.

Поскольку прямоугольники $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$ имеют равные соответствующие стороны ($AA_1=BB_1$ и $AC=BD$), они конгруэнтны, а значит, равны по площади и форме.

Следует отметить, что существуют и другие типы диагональных сечений, например, $AB_1C_1D$ (доказанный в пункте в)), которые в общем случае не обязательно равны сечениям $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$, если параллелепипед не является кубом.

Ответ: Доказано.