Номер 86, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

86. Палатка имеет форму пирамиды $PABCD$ с основанием – прямоугольником $ABCD$, причем $AB = 2$ м, $BC = 2,5$ м. Ее ребро $PB$, равное 2 м, перпендикулярно основанию. Найдите с точностью до $0,1$ м$^2$ сколько квадратных метров брезента израсходовано на изготовление этой палатки, если на швы уходит $2 \%$ площади ее боковой поверхности.

Дано:

Палатка имеет форму пирамиды $PABCD$ с основанием - прямоугольником $ABCD$.

$AB = 2$ м

$BC = 2.5$ м

Ребро $PB = 2$ м

Ребро $PB$ перпендикулярно основанию.

На швы уходит $2\%$ площади ее боковой поверхности.

Перевод данных в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры).

$AB = 2$ м

$BC = 2.5$ м

$PB = 2$ м

Найти:

Сколько квадратных метров брезента израсходовано на изготовление этой палатки (с точностью до $0.1$ м$^2$).

Решение:

Для определения количества израсходованного брезента необходимо найти площадь боковой поверхности пирамиды и добавить к ней $2\%$ на швы.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$, $\triangle PCD$, $\triangle PDA$.

1. Площадь треугольника $PAB$:

Поскольку ребро $PB$ перпендикулярно основанию $ABCD$, то оно перпендикулярно любой линии в основании, проходящей через $B$. Следовательно, $PB \perp AB$.

Таким образом, $\triangle PAB$ является прямоугольным треугольником с катетами $PB$ и $AB$.

Площадь $S_{PAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PB = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 2$ м$^2$.

2. Площадь треугольника $PBC$:

Аналогично, $PB \perp BC$.

Таким образом, $\triangle PBC$ является прямоугольным треугольником с катетами $PB$ и $BC$.

Площадь $S_{PBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PB = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 2.5$ м$^2$.

3. Площадь треугольника $PCD$:

Основание $CD$ прямоугольника $ABCD$ равно $AB$, то есть $CD = 2$ м.

Поскольку $PB \perp$ основанию и $BC \perp CD$ (свойство прямоугольника), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $PC$ перпендикулярна $CD$.

Следовательно, $\triangle PCD$ является прямоугольным треугольником с катетами $PC$ и $CD$.

Найдем длину катета $PC$ из прямоугольного треугольника $PBC$ по теореме Пифагора:

$PC = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2.5^2} = \sqrt{4 + 6.25} = \sqrt{10.25}$ м.

Площадь $S_{PCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot PC = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ м} \cdot \sqrt{10.25} \text{ м} = \sqrt{10.25}$ м$^2$.

Приблизительное значение $S_{PCD} \approx 3.20156$ м$^2$.

4. Площадь треугольника $PDA$:

Основание $AD$ прямоугольника $ABCD$ равно $BC$, то есть $AD = 2.5$ м.

Поскольку $PB \perp$ основанию и $AB \perp AD$ (свойство прямоугольника), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $PA$ перпендикулярна $AD$.

Следовательно, $\triangle PDA$ является прямоугольным треугольником с катетами $PA$ и $AD$.

Найдем длину катета $PA$ из прямоугольного треугольника $PAB$ по теореме Пифагора:

$PA = \sqrt{PB^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ м.

Площадь $S_{PDA} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot PA = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \text{ м} \cdot \sqrt{8} \text{ м} = 1.25\sqrt{8}$ м$^2$.

Приблизительное значение $S_{PDA} \approx 3.53553$ м$^2$.

5. Общая площадь боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{бок} = S_{PAB} + S_{PBC} + S_{PCD} + S_{PDA}$

$S_{бок} = 2 + 2.5 + \sqrt{10.25} + 1.25\sqrt{8}$

$S_{бок} \approx 2 + 2.5 + 3.2015624 + 3.5355339 \approx 11.2370963$ м$^2$.

6. Площадь брезента с учетом швов:

На швы уходит $2\%$ от площади боковой поверхности. Значит, общая площадь брезента будет составлять $100\% + 2\% = 102\%$ от площади боковой поверхности.

$S_{общ} = S_{бок} \cdot (1 + 0.02) = 1.02 \cdot S_{бок}$

$S_{общ} = 1.02 \cdot (2 + 2.5 + \sqrt{10.25} + 1.25\sqrt{8})$

$S_{общ} \approx 1.02 \cdot 11.2370963 \approx 11.4618382$ м$^2$.

7. Округление результата:

Округлим результат до $0.1$ м$^2$.

$11.4618382 \approx 11.5$ м$^2$.

Ответ:

11.5 м$^2$.