Номер 92, страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

92. a) Постройте треугольную усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как $1:4$.

б) В пирамиде через точку $M$ ее высоты $PO$ проведено сечение, параллельное основанию, площадь которого вдвое меньше площади основания. В каком отношении точка $M$ делит высоту $PO$?

а) Постройте треугольную усеченную пирамиду, площади оснований которой относятся как 1:4.

Треугольная усеченная пирамида является частью полной треугольной пирамиды, заключенной между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Ее основания представляют собой два подобных треугольника, а боковые грани являются трапециями.

Если площади оснований усеченной пирамиды относятся как $1:4$, это означает, что отношение площади меньшего основания ($S_1$) к площади большего основания ($S_2$) составляет $S_1/S_2 = 1/4$.

Для любых двух подобных геометрических фигур отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров (коэффициента подобия $k$). В данном случае $k^2 = S_1/S_2 = 1/4$.

Из этого следует, что коэффициент подобия линейных размеров равен $k = \sqrt{1/4} = 1/2$.

Это означает, что любая линейная мера меньшего основания (например, длина стороны, высота, медиана) в два раза меньше соответствующей линейной меры большего основания.

Для построения такой усеченной пирамиды можно выполнить следующие шаги:

1. Нарисуйте произвольный треугольник (например, равносторонний или равнобедренный) в качестве нижнего (большего) основания пирамиды. Обозначьте его вершины $A, B, C$.

2. Найдите центр этого треугольника (например, для равностороннего треугольника это точка пересечения медиан, которая является также центром описанной и вписанной окружностей). Обозначьте эту точку $O$.

3. Из точки $O$ проведите перпендикулярную плоскости основания линию вверх, которая будет осью (высотой) полной пирамиды.

4. На этой оси отложите некоторую высоту $H$ до предполагаемой вершины полной пирамиды. Обозначьте вершину $P$. Таким образом, $PO$ — высота полной пирамиды.

5. Поскольку коэффициент подобия равен $1/2$, меньшее основание должно быть расположено на половине высоты от вершины $P$. Отложите на отрезке $PO$ от точки $P$ отрезок $PM = H/2$. Через точку $M$ проведите плоскость, параллельную основанию $ABC$. Эта плоскость пересечет боковые ребра полной пирамиды, образуя меньшее основание — треугольник, подобный $ABC$. Обозначьте его вершины $A', B', C'$.

6. Соедините вершины меньшего основания ($A', B', C'$) с соответствующими вершинами большего основания ($A, B, C$) прямыми линиями. Эти линии будут боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Полученная фигура $ABC A'B'C'$ будет треугольной усеченной пирамидой, площади оснований которой относятся как $1:4$.

Ответ: Треугольная усеченная пирамида строится путем отсечения верхней части полной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, на высоте, равной половине высоты полной пирамиды (отсчитывая от вершины), так как отношение площадей оснований $S_1:S_2 = 1:4$, что соответствует отношению линейных размеров $k = \sqrt{1/4} = 1/2$.

б) В пирамиде через точку M ее высоты PO проведено сечение, параллельное основанию, площадь которого вдвое меньше площади основания. В каком отношении точка M делит высоту PO?

Дано:

Пирамида с вершиной $P$ и основанием. Высота пирамиды — $PO$.

Сечение проходит через точку $M$ на высоте $PO$ параллельно основанию.

Площадь сечения $S_{сеч}$ относится к площади основания $S_{осн}$ как $S_{сеч} = S_{осн} / 2$.

Найти:

Отношение, в котором точка $M$ делит высоту $PO$, то есть $PM : MO$.

Решение:

Пусть $P$ — вершина пирамиды, а $O$ — основание высоты, то есть точка на плоскости основания, куда проецируется вершина. Длина высоты исходной пирамиды равна $H = PO$.

Сечение, проведенное параллельно основанию пирамиды, образует малую пирамиду (с вершиной $P$ и основанием, совпадающим с сечением), которая подобна исходной (большой) пирамиде.

Пусть $h_M = PM$ — высота этой малой пирамиды.

Для подобных фигур отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров. В данном случае, это отношение высот: $S_{сеч} / S_{осн} = (h_M / H)^2$

По условию задачи, $S_{сеч} = S_{осн} / 2$, что означает $S_{сеч} / S_{осн} = 1/2$.

Подставляем это значение в формулу: $(h_M / H)^2 = 1/2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения: $h_M / H = \sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2}$

Отсюда следует, что $PM = h_M = H/\sqrt{2}$.

Теперь найдем длину отрезка $MO$: $MO = PO - PM = H - H/\sqrt{2} = H(1 - 1/\sqrt{2}) = H(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}$

Мы ищем отношение, в котором точка $M$ делит высоту $PO$. Это отношение $PM : MO$.

$PM : MO = (H/\sqrt{2}) : (H(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2})$

Делим обе части отношения на общий множитель $H/\sqrt{2}$: $PM : MO = 1 : (\sqrt{2}-1)$

Чтобы получить более стандартную форму отношения, рационализируем вторую часть. Для этого умножим $1/(\sqrt{2}-1)$ на $(\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+1)$: $PM/MO = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1 \cdot (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

Таким образом, $PM/MO = \sqrt{2}+1$. Это означает, что $PM = (\sqrt{2}+1) \cdot MO$.

Следовательно, отношение $PM : MO = (\sqrt{2}+1) : 1$.

Ответ: Точка $M$ делит высоту $PO$ в отношении $(\sqrt{2}+1) : 1$.