Номер 95, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

4. Усеченная пирамида. Площадь поверхности усеченной пирамиды. I. Многогранники - номер 95, страница 45.

Условие.

95. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 8см и 16см, а ее боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту этой усеченной пирамиды.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Сторона меньшего основания ($a_1$) правильной треугольной усеченной пирамиды: $8 \text{ см}$

Сторона большего основания ($a_2$) правильной треугольной усеченной пирамиды: $16 \text{ см}$

Угол наклона боковой грани к плоскости основания ($\alpha$): $60^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$a_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

Высота усеченной пирамиды ($H$).

Решение:

Рассмотрим сечение пирамиды, проходящее через апофемы оснований и перпендикулярное к одной из сторон основания. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию. Высота этой трапеции является апофемой боковой грани усеченной пирамиды. Угол наклона боковой грани к плоскости основания - это угол между апофемой боковой грани и ее проекцией на плоскость основания.

В правильной треугольной пирамиде центр основания совпадает с центром вписанной окружности. Расстояние от центра равностороннего треугольника до середины его стороны (радиус вписанной окружности, или апофема основания) равно $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, где $a$ - сторона треугольника.

Найдем апофему меньшего основания ($r_1$):

$r_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Найдем апофему большего основания ($r_2$):

$r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6} = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченной пирамиды ($H$), разностью апофем оснований, спроецированных на одну прямую ($r_2 - r_1$), и апофемой боковой грани. Угол $\alpha$ является одним из острых углов этого треугольника.

Горизонтальная проекция апофемы боковой грани на плоскость основания равна разности апофем оснований:

$x = r_2 - r_1 = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($H$), горизонтальной проекцией $x$ и апофемой боковой грани, тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету ($x$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{x}$

Выразим высоту $H$:

$H = x \cdot \tan(\alpha)$

Подставим известные значения. Мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$H = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3}$

$H = \frac{4 \cdot (\sqrt{3})^2}{3}$

$H = \frac{4 \cdot 3}{3}$

$H = 4 \text{ см}$

Ответ:

Высота этой усеченной пирамиды равна $4 \text{ см}$.